कैलकुलस उदाहरण

$g (t) = t^{2} \ln (e^{2 t} + 1)$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = t^{2}$ और $g (t) = \ln (e^{2 t} + 1)$ है.

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (e^{2 t} + 1)] + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \ln (t)$ और $g (t) = e^{2 t} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $e^{2 t} + 1$ के रूप में सेट करें.

$t^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$t^{2} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $e^{2 t} + 1$ से बदलें.

$t^{2} (\frac{1}{e^{2 t} + 1} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 3

योग नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{e^{2 t} + 1}$ और $t^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 1] + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $e^{2 t} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [1]$ है.

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = 2 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 t$ के रूप में सेट करें.

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 5

अवकलन करें.

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चरण 5.1

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{2 t} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 5.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 5.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (e^{2 t} \cdot 2 + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 5.3.2

$2$ को $e^{2 t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (2 \cdot e^{2 t} + \frac{d}{d t} [1]) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 5.4

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (2 e^{2 t} + 0) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 5.5

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$2 e^{2 t}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1} (2 e^{2 t}) + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 5.5.2

$2$ और $\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 1}$ को मिलाएं.

$\frac{2 t^{2}}{e^{2 t} + 1} e^{2 t} + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 5.5.3

$\frac{2 t^{2}}{e^{2 t} + 1}$ और $e^{2 t}$ को मिलाएं.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 1} + \ln (e^{2 t} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 5.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 1} + \ln (e^{2 t} + 1) (2 t)$

चरण 6

$\ln (e^{2 t} + 1) (2 t)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{e^{2 t} + 1}{e^{2 t} + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 1} + \frac{\ln (e^{2 t} + 1) (2 t) (e^{2 t} + 1)}{e^{2 t} + 1}$

चरण 7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln (e^{2 t} + 1) (2 t) (e^{2 t} + 1)}{e^{2 t} + 1}$

चरण 8

सरल करें.

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चरण 8.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + 2 \ln (e^{2 t} + 1) t (e^{2 t} + 1)}{e^{2 t} + 1}$

चरण 8.1.1.2

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (e^{2 t} + 1)$ को सरल करें.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t (e^{2 t} + 1)}{e^{2 t} + 1}$

चरण 8.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t \cdot 1}{e^{2 t} + 1}$

चरण 8.1.1.4

$\ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t e^{2 t} + t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})}{e^{2 t} + 1}$

चरण 8.1.2

गुणनखंडों को $2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) t e^{2 t} + t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + t e^{2 t} \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) + t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})}{e^{2 t} + 1}$

चरण 8.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2 e^{2 t} t^{2} + e^{2 t} t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2}) + t \ln ({(e^{2 t} + 1)}^{2})}{e^{2 t} + 1}$