कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (\sin (x) + \cos (x))$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sin (x) + \cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x) + \cos (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

चरण 2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin (x) + \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 4

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(\cos (x) - \sin (x)) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} - \sin (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

चरण 5.3

$\cos (x)$ और $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)} - \sin (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

चरण 5.4

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ और $\sin (x)$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

चरण 5.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$