कैलकुलस उदाहरण

$\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$

चरण 1

चूंकि $r$ , $n$ के संबंध में स्थिर है, $n$ के संबंध में $\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$ का व्युत्पन्न $r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$ है.

$r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ है, जहाँ $f (n) = n$ और $g (n) = 1 + (n - 1) r$ है.

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \frac{d}{d n} [n] - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ $n \cdot n^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \cdot 1 - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

चरण 3.2

$1 + (n - 1) r$ को $1$ से गुणा करें.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $n$ के संबंध में $1 + (n - 1) r$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ है.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

चरण 3.4

चूंकि $n$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $n$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (0 + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

चरण 3.5

$0$ और $\frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ जोड़ें.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [(n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

चरण 3.6

चूंकि $r$ , $n$ के संबंध में स्थिर है, $n$ के संबंध में $(n - 1) r$ का व्युत्पन्न $r \frac{d}{d n} [n - 1]$ है.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r \frac{d}{d n} [n - 1])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

चरण 3.7

योग नियम के अनुसार, $n$ के संबंध में $n - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]$ है.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

चरण 3.8

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (1 + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

चरण 3.9

चूंकि $n$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $n$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r (1 + 0)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

चरण 3.10

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r \cdot 1}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

चरण 3.10.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

चरण 3.10.3

$r$ और $\frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{r (1 + (n - 1) r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{r (1 + n r - 1 r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

चरण 4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

चरण 4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1.1

गुणनखंडों को $r (n r)$ और $r (- n r)$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{r \cdot 1 + n r \cdot r + r (- 1 r) - n r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

चरण 4.4.1.2

$n r \cdot r$ में से $n r \cdot r$ घटाएं.

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r) + 0}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

चरण 4.4.1.3

$r \cdot 1 + r (- 1 r)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

चरण 4.4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

$r$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{r + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

चरण 4.4.2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{r - r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

चरण 4.4.2.3

घातांक जोड़कर $r$ को $r$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.3.1

$r$ ले जाएं.

$\frac{r - (r \cdot r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

चरण 4.4.2.3.2

$r$ को $r$ से गुणा करें.

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

चरण 4.5

$- 1 r$ को $- r$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - r)}^{2}}$

चरण 4.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- r^{2} + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

चरण 4.7

$- r^{2} + r$ में से $r$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$- r^{2}$ में से $r$ का गुणनखंड करें.

$\frac{r (- r) + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

चरण 4.7.2

$r$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{r (- r) + r^{1}}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

चरण 4.7.3

$r^{1}$ में से $r$ का गुणनखंड करें.

$\frac{r (- r) + r \cdot 1}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

चरण 4.7.4

$r (- r) + r \cdot 1$ में से $r$ का गुणनखंड करें.

$\frac{r (- r + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

चरण 4.8

$- r$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{r (- (r) + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

चरण 4.9

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{r (- (r) - 1 (- 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

चरण 4.10

$- (r) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{r (- (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

चरण 4.11

$- (r - 1)$ को $- 1 (r - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{r (- 1 (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

चरण 4.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{r (r - 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$