कैलकुलस उदाहरण

$\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $r$ के संबंध में $\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ है.

$\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2

$\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$p$ और $\frac{4}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4}{3} \cdot {(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.2

$\frac{p \cdot 4}{3}$ और ${(r + h)}^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4 {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.3

$4$ को $p$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot p {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.4

चूंकि $\frac{4 p}{3}$ , $r$ के संबंध में स्थिर है, $r$ के संबंध में $\frac{4 p {(r + h)}^{3}}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}]$ है.

$\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ $f' (g (r)) g' (r)$ है, जहाँ $f (r) = r^{3}$ और $g (r) = r + h$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $r + h$ के रूप में सेट करें.

$\frac{4 p}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{4 p}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.5.3

$u$ की सभी घटनाओं को $r + h$ से बदलें.

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.6

योग नियम के अनुसार, $r$ के संबंध में $r + h$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h]$ है.

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ $n r^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.8

चूंकि $r$ के संबंध में $h$ स्थिर है, $r$ के संबंध में $h$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.9

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.10

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.11

$3$ और $\frac{4 p}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{3 (4 p)}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.12

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{12 p}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.13

$\frac{12 p}{3}$ और ${(r + h)}^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{12 p {(r + h)}^{2}}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.14

$12$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.14.1

$12 p {(r + h)}^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.14.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.14.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.14.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.14.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4 p {(r + h)}^{2}}{1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 2.14.2.4

$4 p {(r + h)}^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

चरण 3

$\frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$p$ और $\frac{4}{3}$ को मिलाएं.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{p \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

चरण 3.2

$r^{3}$ और $\frac{p \cdot 4}{3}$ को मिलाएं.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (p \cdot 4)}{3}]$

चरण 3.3

$4$ को $p$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (4 \cdot p)}{3}]$

चरण 3.4

$4$ को $r^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4 \cdot r^{3} p}{3}]$

चरण 3.5

चूंकि $- \frac{4 p}{3}$ , $r$ के संबंध में स्थिर है, $r$ के संबंध में $- \frac{4 r^{3} p}{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ है.

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ $n r^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} (3 r^{2})$

चरण 3.7

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 p {(r + h)}^{2} - 3 \frac{4 p}{3} r^{2}$

चरण 3.8

$- 3$ और $\frac{4 p}{3}$ को मिलाएं.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 3 (4 p)}{3} r^{2}$

चरण 3.9

$4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p}{3} r^{2}$

चरण 3.10

$\frac{- 12 p}{3}$ और $r^{2}$ को मिलाएं.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p r^{2}}{3}$

चरण 3.11

$- 12$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.1

$- 12 p r^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3}$

चरण 3.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 (1)}$

चरण 3.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 \cdot 1}$

चरण 3.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 4 p r^{2}}{1}$

चरण 3.11.2.4

$- 4 p r^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 p r^{2}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 r^{2} p$

चरण 4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

${(r + h)}^{2}$ को $(r + h) (r + h)$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 p ((r + h) (r + h)) - 4 r^{2} p$

चरण 4.2.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(r + h) (r + h)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 p (r (r + h) + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

चरण 4.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 p (r \cdot r + r h + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

चरण 4.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 p (r \cdot r + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

चरण 4.2.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1.1

$r$ को $r$ से गुणा करें.

$4 p (r^{2} + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

चरण 4.2.3.1.2

$h$ को $h$ से गुणा करें.

$4 p (r^{2} + r h + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

चरण 4.2.3.2

$r h$ और $h r$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.2.1

$r$ और $h$ को पुन: क्रमित करें.

$4 p (r^{2} + h r + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

चरण 4.2.3.2.2

$h r$ और $h r$ जोड़ें.

$4 p (r^{2} + 2 h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

चरण 4.2.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 p r^{2} + 4 p (2 h r) + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

चरण 4.2.5

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

चरण 4.3

$4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

गुणनखंडों को $4 p r^{2}$ और $- 4 r^{2} p$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$4 r^{2} p + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

चरण 4.3.2

$4 r^{2} p$ में से $4 r^{2} p$ घटाएं.

$8 p h r + 4 p h^{2} + 0$

चरण 4.3.3

$8 p h r + 4 p h^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$8 p h r + 4 p h^{2}$