कैलकुलस उदाहरण

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ है, जहाँ $f (t) = \sin (t)$ और $g (t) = 1 - \cos (t)$ है.

$\frac{(1 - \cos (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)] - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 2

$t$ के संबंध में $\sin (t)$ का व्युत्पन्न $\cos (t)$ है.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $1 - \cos (t)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ है.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 3.2

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 3.3

$0$ और $\frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ जोड़ें.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [- \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 3.4

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- \cos (t)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ है.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (- \frac{d}{d t} [\cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 3.5

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + 1 \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 3.5.2

$\sin (t)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 4

$t$ के संबंध में $\cos (t)$ का व्युत्पन्न $- \sin (t)$ है.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 5

$\sin (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 6

$\sin (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - {\sin (t)}^{1 + 1}}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 \cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

$\cos (t)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9.2.1.2

$- \cos (t) \cos (t)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.2.1

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9.2.1.2.2

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9.2.1.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\cos (t) - {\cos (t)}^{1 + 1} - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9.2.1.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\cos (t) - \cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9.2.2

$- \cos^{2} (t)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9.2.3

$- \sin^{2} (t)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9.2.4

$- (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9.2.5

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\frac{\cos (t) - (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9.2.6

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{\cos (t) - 1 \cdot 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9.2.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (t) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$\cos (t) - 1$ और ${(1 - \cos (t))}^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.1

$\cos (t)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9.3.1.2

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9.3.1.3

$- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (- \cos (t) + 1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9.3.1.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 1 (1 - \cos (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9.3.1.5

$- 1 (1 - \cos (t))$ में से $1 - \cos (t)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

चरण 9.3.1.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.6.1

${(1 - \cos (t))}^{2}$ में से $1 - \cos (t)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

चरण 9.3.1.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

चरण 9.3.1.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{1 - \cos (t)}$

चरण 9.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{1 - \cos (t)}$