कैलकुलस उदाहरण

$e^{t} (e^{2 t} - e^{- 2 t})$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = e^{2 t} - e^{- 2 t}$ है.

$e^{t} \frac{d}{d t} [e^{2 t} - e^{- 2 t}] + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

चरण 2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $e^{2 t} - e^{- 2 t}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]$ है.

$e^{t} (\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = 2 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 t$ के रूप में सेट करें.

$e^{t} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{t} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

चरण 3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$e^{t} (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$e^{t} (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{t} (e^{2 t} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

चरण 4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{t} (e^{2 t} \cdot 2 + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

चरण 4.3.2

$2$ को $e^{2 t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{t} (2 \cdot e^{2 t} + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

चरण 4.4

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- e^{- 2 t}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [e^{- 2 t}]$ है.

$e^{t} (2 e^{2 t} - \frac{d}{d t} [e^{- 2 t}]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = - 2 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- 2 t$ के रूप में सेट करें.

$e^{t} (2 e^{2 t} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 2 t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

चरण 5.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{t} (2 e^{2 t} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 2 t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

चरण 5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- 2 t$ से बदलें.

$e^{t} (2 e^{2 t} - (e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [- 2 t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

चरण 6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूंकि $- 2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 2 t$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$e^{t} (2 e^{2 t} - e^{- 2 t} (- 2 \frac{d}{d t} [t])) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

चरण 6.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [t]) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

चरण 6.3

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t} \cdot 1) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

चरण 6.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t}) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

चरण 7

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ $a^{t} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{t} (2 e^{2 t} + 2 e^{- 2 t}) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) e^{t}$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{t} (2 e^{2 t}) + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + (e^{2 t} - e^{- 2 t}) e^{t}$

चरण 8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{t} (2 e^{2 t}) + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

चरण 8.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

घातांक जोड़कर $e^{t}$ को $e^{2 t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$e^{2 t}$ ले जाएं.

$e^{2 t} e^{t} \cdot 2 + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

चरण 8.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$e^{2 t + t} \cdot 2 + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

चरण 8.3.1.3

$2 t$ और $t$ जोड़ें.

$e^{3 t} \cdot 2 + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

चरण 8.3.2

$2$ को $e^{3 t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cdot e^{3 t} + e^{t} (2 e^{- 2 t}) + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

चरण 8.3.3

घातांक जोड़कर $e^{t}$ को $e^{- 2 t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.1

$e^{- 2 t}$ ले जाएं.

$2 e^{3 t} + e^{- 2 t} e^{t} \cdot 2 + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

चरण 8.3.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 e^{3 t} + e^{- 2 t + t} \cdot 2 + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

चरण 8.3.3.3

$- 2 t$ और $t$ जोड़ें.

$2 e^{3 t} + e^{- t} \cdot 2 + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

चरण 8.3.4

$2$ को $e^{- t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 e^{3 t} + 2 \cdot e^{- t} + e^{2 t} e^{t} - e^{- 2 t} e^{t}$

चरण 8.3.5

घातांक जोड़कर $e^{2 t}$ को $e^{t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.5.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{2 t + t} - e^{- 2 t} e^{t}$

चरण 8.3.5.2

$2 t$ और $t$ जोड़ें.

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - e^{- 2 t} e^{t}$

चरण 8.3.6

घातांक जोड़कर $e^{- 2 t}$ को $e^{t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.6.1

$e^{t}$ ले जाएं.

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - (e^{t} e^{- 2 t})$

चरण 8.3.6.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - e^{t - 2 t}$

चरण 8.3.6.3

$t$ में से $2 t$ घटाएं.

$2 e^{3 t} + 2 e^{- t} + e^{3 t} - e^{- t}$

चरण 8.3.7

$2 e^{3 t}$ और $e^{3 t}$ जोड़ें.

$3 e^{3 t} + 2 e^{- t} - e^{- t}$

चरण 8.3.8

$2 e^{- t}$ में से $e^{- t}$ घटाएं.

$3 e^{3 t} + e^{- t}$