कैलकुलस उदाहरण

$y = \sqrt{\ln (2 x)}$

चरण 1

$\sqrt{\ln (2 x)}$ को ${\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = {(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}})$

चरण 3

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = \ln (2 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\ln (2 x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

चरण 4.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

चरण 4.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\ln (2 x)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

चरण 4.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

चरण 4.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

चरण 4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

चरण 4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

चरण 4.5.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

चरण 4.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

चरण 4.6.2

$\frac{1}{2}$ और ${\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

चरण 4.6.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

चरण 4.7

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 4.7.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 4.7.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 4.8

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1

$\frac{1}{2 x}$ को $\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 x (2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 4.8.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 4.8.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.8.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.4.1

$2$ और $\frac{1}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.8.4.2

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1)}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.9

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.1

$4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1)}{2 (2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.9.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

चरण 4.11

$\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{1}{2 x {(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x {(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$