कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{3}}{x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - 27}$

चरण 1

भिन्न को विघटित करें और सामान्य भाजक से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भिन्न का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{x^{3}}{(x^{3} - 3 x^{2}) + 9 x - 27}$

चरण 1.1.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{3}}{x^{2} (x - 3) + 9 (x - 3)}$

चरण 1.1.2

महत्तम समापवर्तक, $x - 3$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{3}}{(x - 3) (x^{2} + 9)}$

चरण 1.2

भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि भाजक में गुणनखंड रैखिक है, इसलिए उसके स्थान पर एक ही चर डालें $A$ .

$\frac{A}{x - 3}$

चरण 1.3

भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि गुणनखंड दूसरा क्रम है, न्यूमेरेटर में $2$ पद आवश्यक हैं. न्यूमेरेटर में आवश्यक पदों की संख्या हमेशा भाजक के गुणनखंड के क्रम के बराबर होती है.

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$

चरण 1.4

मूल व्यंजक के भाजक से समीकरण में प्रत्येक भिन्न को गुणा करें. इस स्थिति में, भाजक $(x - 3) (x^{2} + 9)$ होगा.

$\frac{x^{3} (x - 3) (x^{2} + 9)}{(x - 3) (x^{2} + 9)} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

चरण 1.5

$x - 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{3} (x - 3) (x^{2} + 9)}{(x - 3) (x^{2} + 9)} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

चरण 1.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{3} (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

चरण 1.6

$x^{2} + 9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{3} (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

चरण 1.6.2

$x^{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{3} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

चरण 1.7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

$x - 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{3} = \frac{A (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

चरण 1.7.1.2

$(A) (x^{2} + 9)$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{3} = (A) (x^{2} + 9) + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

चरण 1.7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} = A x^{2} + A \cdot 9 + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

चरण 1.7.3

$9$ को $A$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{3} = A x^{2} + 9 \cdot A + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

चरण 1.7.4

$x^{2} + 9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

चरण 1.7.4.2

$(B x + C) (x - 3)$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + (B x + C) (x - 3)$

चरण 1.7.5

FOIL विधि का उपयोग करके $(B x + C) (x - 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x (x - 3) + C (x - 3)$

चरण 1.7.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C (x - 3)$

चरण 1.7.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

चरण 1.7.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.6.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.6.1.1

$x$ ले जाएं.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

चरण 1.7.6.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

चरण 1.7.6.2

$- 3$ को $B x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 3$

चरण 1.7.6.3

$- 3$ को $C$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x - 3 C$

चरण 1.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1

$B$ ले जाएं.

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 x B + C x - 3 C$

चरण 1.8.2

$9 A$ ले जाएं.

$x^{3} = A x^{2} + B x^{2} - 3 x B + C x + 9 A - 3 C$

चरण 2

आंशिक भिन्न चर के लिए समीकरण बनाएंं और समीकरणों की प्रणाली स्थापित करने के लिए उनका उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के दोनों ओर के $x^{2}$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$0 = A + B$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों ओर के $x$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$0 = - 3 B + C$

चरण 2.3

उन पदों, जिनमें $x$ न हो, के गुणांकों को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना चाहिए.

$0 = 9 A - 3 C$

चरण 2.4

आंशिक भिन्नों के गुणांक ज्ञात करने के लिए समीकरणों की प्रणाली सेट करें.

$0 = A + B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

$0 = A + B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

चरण 3

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$A$ के लिए $0 = A + B$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

समीकरण को $A + B = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$A + B = 0$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

चरण 3.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $B$ घटाएं.

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

चरण 3.2

प्रत्येक समीकरण में $A$ की सभी घटनाओं को $- B$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$A$ की सभी घटनाओं को $0 = 9 A - 3 C$ में $- B$ से बदलें.

$0 = 9 (- B) - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$- 1$ को $9$ से गुणा करें.

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

चरण 3.3

$C$ के लिए $0 = - 3 B + C$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $- 3 B + C = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 3 B + C = 0$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

चरण 3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3 B$ जोड़ें.

$C = 3 B$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$C = 3 B$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

चरण 3.4

प्रत्येक समीकरण में $C$ की सभी घटनाओं को $3 B$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$C$ की सभी घटनाओं को $0 = - 9 B - 3 C$ में $3 B$ से बदलें.

$0 = - 9 B - 3 (3 B)$

$C = 3 B$

$A = - B$

चरण 3.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$- 9 B - 3 (3 B)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1

$3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$0 = - 9 B - 9 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

चरण 3.4.2.1.2

$- 9 B$ में से $9 B$ घटाएं.

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

चरण 3.5

$B$ के लिए $0 = - 18 B$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण को $- 18 B = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 18 B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

चरण 3.5.2

$- 18 B = 0$ के प्रत्येक पद को $- 18$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$- 18 B = 0$ के प्रत्येक पद को $- 18$ से विभाजित करें.

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

चरण 3.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.1

$- 18$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

चरण 3.5.2.2.1.2

$B$ को $1$ से विभाजित करें.

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

चरण 3.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.3.1

$0$ को $- 18$ से विभाजित करें.

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

चरण 3.6

प्रत्येक समीकरण में $B$ की सभी घटनाओं को $0$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$B$ की सभी घटनाओं को $C = 3 B$ में $0$ से बदलें.

$C = 3 (0)$

$B = 0$

$A = - B$

चरण 3.6.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$C = 0$

$B = 0$

$A = - B$

$C = 0$

$B = 0$

$A = - B$

चरण 3.6.3

$B$ की सभी घटनाओं को $A = - B$ में $0$ से बदलें.

$A = - (0)$

$C = 0$

$B = 0$

चरण 3.6.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.4.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

चरण 3.7

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$A = 0, C = 0, B = 0$

चरण 4

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$ में प्रत्येक आंशिक भिन्न गुणांक को $A$ , $B$ और $C$ के लिए पाए गए मानों से बदलें.

$\frac{0}{x - 3} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 9}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$(0) \cdot x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{0}{x - 3} + \frac{(0) \cdot x}{x^{2} + 9}$

चरण 5.2

$0$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{0}{x - 3} + \frac{0}{x^{2} + 9}$