कैलकुलस उदाहरण

$\frac{21 \sqrt[3]{x}}{x^{2} - 8}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 21 \sqrt[3]{x}$ और $g (x) = x^{2} - 8$ है.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [21 \sqrt[3]{x}] - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt[3]{x}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [21 x^{\frac{1}{3}}] - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 2.2

चूंकि $21$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $21 x^{\frac{1}{3}}$ का व्युत्पन्न $21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ है.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 6.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 8

$\frac{1}{3}$ और $x^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 9

$21$ और $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{21 x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{21}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 11

$21$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{3 \cdot 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 12

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$3 x^{\frac{2}{3}}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{3 \cdot 7}{3 (x^{\frac{2}{3}})} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{3 \cdot 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 12.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 13

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ है.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 14

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 15

चूंकि $x$ के संबंध में $- 8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 16

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1

$x^{\frac{2}{3}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1.1

$x^{2}$ में से $x^{\frac{2}{3}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.2.2

$7$ को $x^{\frac{4}{3}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{7 \cdot x^{\frac{4}{3}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.2.3

$- 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.3.1

$- 8$ और $\frac{7}{x^{\frac{2}{3}}}$ को मिलाएं.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 8 \cdot 7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.2.3.2

$- 8$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 56}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.2.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.2.5

$- 1$ को $21$ से गुणा करें.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.2.6

$2$ को $- 21$ से गुणा करें.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 \sqrt[3]{x} x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.3.1

$\sqrt[3]{x}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{1}{3}} x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.3.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 (x^{1} x^{\frac{1}{3}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{1 + \frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.3.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{3 + 1}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.3.6

$3$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{4}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.3.7

$7 x^{\frac{4}{3}}$ में से $42 x^{\frac{4}{3}}$ घटाएं.

$\frac{- 35 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.4.1

$- 35 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}$ में से $- 7$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.4.1.1

$- 35 x^{\frac{4}{3}}$ में से $- 7$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}}) - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.4.1.2

$- \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}$ में से $- 7$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}}) - 7 (- \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.4.1.3

$- 7 (5 x^{\frac{4}{3}}) - 7 (- \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}}})$ में से $- 7$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} - \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} - - \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.4.3

$- - \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.4.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} + 1 \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.4.3.2

$\frac{8}{x^{\frac{2}{3}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} + \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.4.4

$5 x^{\frac{4}{3}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ से गुणा करें.

$\frac{- 7 (\frac{5 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.4.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.4.6

घातांक जोड़कर $x^{\frac{4}{3}}$ को $x^{\frac{2}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.4.6.1

$x^{\frac{2}{3}}$ ले जाएं.

$\frac{- 7 \frac{5 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}) + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.4.6.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.4.6.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{2 + 4}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.4.6.4

$2$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{6}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.4.6.5

$6$ को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{- 7 \frac{5 x^{2} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.5

$- 7$ और $\frac{5 x^{2} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{- 7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.7

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

चरण 17.8

$\frac{1}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$ को $\frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}}$ से गुणा करें.

$- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2} x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 17.9

गुणनखंडों को $- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2} x^{\frac{2}{3}}}$ में पुन: क्रमित करें.

$- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 8)}^{2}}$