कैलकुलस उदाहरण

$\frac{w^{2} + 1}{w^{2} - w - 6}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ $\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ है, जहाँ $f (w) = w^{2} + 1$ और $g (w) = w^{2} - w - 6$ है.

$\frac{(w^{2} - w - 6) \frac{d}{d w} [w^{2} + 1] - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $w$ के संबंध में $w^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [1]$ है.

$\frac{(w^{2} - w - 6) (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [1]) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ $n w^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w + \frac{d}{d w} [1]) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 2.3

चूंकि $w$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $w$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w + 0) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 2.4

$2 w$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 2.5

योग नियम के अनुसार, $w$ के संबंध में $w^{2} - w - 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6]$ है.

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 2.6

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 3

$\frac{d}{d w} [- w]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $- 1$ , $w$ के संबंध में स्थिर है, $w$ के संबंध में $- w$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d w} [w]$ है.

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ $n w^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि $w$ के संबंध में $- 6$ स्थिर है, $w$ के संबंध में $- 6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 + 0)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 4.2

$2 w - 1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{w^{2} (2 w) - w (2 w) - 6 (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{w^{2} (2 w) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 w^{2} w - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.2

घातांक जोड़कर $w^{2}$ को $w$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.1

$w$ ले जाएं.

$\frac{2 (w \cdot w^{2}) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.2.2

$w$ को $w^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.2.1

$w$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (w^{1} w^{2}) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 w^{1 + 2} - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 w^{3} - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 w \cdot w - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.4

घातांक जोड़कर $w$ को $w$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.4.1

$w$ ले जाएं.

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 (w \cdot w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.4.2

$w$ को $w$ से गुणा करें.

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 w^{2} - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.5

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.6

$2$ को $- 6$ से गुणा करें.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w + (- w^{2} - 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.8

FOIL विधि का उपयोग करके $(- w^{2} - 1) (2 w - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w - 1) - 1 (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.8.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.9

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.9.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{2} w - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.9.2

घातांक जोड़कर $w^{2}$ को $w$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.9.2.1

$w$ ले जाएं.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 (w \cdot w^{2}) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.9.2.2

$w$ को $w^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.9.2.2.1

$w$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 (w^{1} w^{2}) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.9.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{1 + 2} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.9.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{3} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.9.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.9.4

$- w^{2} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.9.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + 1 w^{2} - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.9.4.2

$w^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.9.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.1.9.6

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.2

$2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w + 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$2 w^{3}$ में से $2 w^{3}$ घटाएं.

$\frac{- 2 w^{2} - 12 w + 0 + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.2.2

$- 2 w^{2} - 12 w$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 2 w^{2} - 12 w + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.3

$- 2 w^{2}$ और $w^{2}$ जोड़ें.

$\frac{- w^{2} - 12 w - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.3.4

$- 12 w$ में से $2 w$ घटाएं.

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

चरण 5.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

AC विधि का उपयोग करके $w^{2} - w - 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 6$ है और जिसका योग $- 1$ है.

$- 3, 2$

चरण 5.4.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{((w - 3) (w + 2))}^{2}}$

चरण 5.4.2

उत्पाद नियम को $(w - 3) (w + 2)$ पर लागू करें.

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

चरण 5.5

$- w^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (w^{2}) - 14 w + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

चरण 5.6

$- 14 w$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (w^{2}) - (14 w) + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

चरण 5.7

$- (w^{2}) - (14 w)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (w^{2} + 14 w) + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

चरण 5.8

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (w^{2} + 14 w) - 1 (- 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

चरण 5.9

$- (w^{2} + 14 w) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (w^{2} + 14 w - 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

चरण 5.10

$- (w^{2} + 14 w - 1)$ को $- 1 (w^{2} + 14 w - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (w^{2} + 14 w - 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

चरण 5.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{w^{2} + 14 w - 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$