कैलकुलस उदाहरण

$m (t) = - 7 t {(3 t^{4} - 1)}^{8}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = - 7 t$ और $g (t) = {(3 t^{4} - 1)}^{8}$ है.

$- 7 t \frac{d}{d t} [{(3 t^{4} - 1)}^{8}] + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{8}$ और $g (t) = 3 t^{4} - 1$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 t^{4} - 1$ के रूप में सेट करें.

$- 7 t (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d t} [3 t^{4} - 1]) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 8$ है.

$- 7 t (8 u^{7} \frac{d}{d t} [3 t^{4} - 1]) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 t^{4} - 1$ से बदलें.

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [3 t^{4} - 1]) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $3 t^{4} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ है.

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

चरण 3.2

चूंकि $3$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 t^{4}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ है.

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (3 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (3 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

चरण 3.4

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (12 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

चरण 3.5

चूंकि $t$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (12 t^{3} + 0)) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

चरण 3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.6.1

$12 t^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (12 t^{3})) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

चरण 3.6.2

$12$ को $8$ से गुणा करें.

$- 7 t (96 {(3 t^{4} - 1)}^{7} t^{3}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

चरण 3.6.3

$96 {(3 t^{4} - 1)}^{7} t^{3}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

चरण 3.7

चूंकि $- 7$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 7 t$ का व्युत्पन्न $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} (- 7 \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} (- 7 \cdot 1)$

चरण 3.9

$- 7$ को $1$ से गुणा करें.

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

$96$ को $- 7$ से गुणा करें.

$- 672 t (t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

चरण 4.2

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 672 (t^{3} t^{1}) {(3 t^{4} - 1)}^{7} + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

चरण 4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 672 t^{3 + 1} {(3 t^{4} - 1)}^{7} + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

चरण 4.4

$3$ और $1$ जोड़ें.

$- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7} + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

चरण 4.5

$- 7$ को ${(3 t^{4} - 1)}^{8}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7} - 7 \cdot {(3 t^{4} - 1)}^{8}$

चरण 4.6

$- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7} - 7 {(3 t^{4} - 1)}^{8}$ में से $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ का गुणनखंड करें.

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चरण 4.6.1

$- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ में से $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ का गुणनखंड करें.

$7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4}) - 7 {(3 t^{4} - 1)}^{8}$

चरण 4.6.2

$- 7 {(3 t^{4} - 1)}^{8}$ में से $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ का गुणनखंड करें.

$7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4}) + 7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- (3 t^{4} - 1))$

चरण 4.6.3

$7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4}) + 7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- (3 t^{4} - 1))$ में से $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ का गुणनखंड करें.

$7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4} - (3 t^{4} - 1))$