कैलकुलस उदाहरण

$f (t) = (1 - t^{2}) (1 - \frac{3}{t^{2}})$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = 1 - t^{2}$ और $g (t) = 1 - \frac{3}{t^{2}}$ है.

$(1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - \frac{3}{t^{2}}] + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $1 - \frac{3}{t^{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]$ है.

$(1 - t^{2}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 2.2

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(1 - t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 3

$\frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $- 3$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- \frac{3}{t^{2}}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ है.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 3.2

$\frac{1}{t^{2}}$ को ${(t^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{- 1}$ और $g (t) = t^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $t^{2}$ के रूप में सेट करें.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $t^{2}$ से बदलें.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 3.5

घातांक को ${(t^{2})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 3.5.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- t^{- 4} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 3.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{- 4} t)) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 3.7

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 3.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{1 - 4})) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 3.9

$1$ में से $4$ घटाएं.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{- 3})) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 3.10

$- 2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$(1 - t^{2}) (0 + 6 t^{- 3}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$(1 - t^{2}) (0 + 6 \frac{1}{t^{3}}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$6$ और $\frac{1}{t^{3}}$ को मिलाएं.

$(1 - t^{2}) (0 + \frac{6}{t^{3}}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 4.2.2

$0$ और $\frac{6}{t^{3}}$ जोड़ें.

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $1 - t^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ है.

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

चरण 5.2

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

चरण 6

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- t^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ है.

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

चरण 6.2

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - (2 t))$

चरण 6.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - 2 t)$

चरण 7

$0$ में से $2 t$ घटाएं.

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (- 2 t)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 \frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (- 2 t)$

चरण 8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 \frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

चरण 8.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$\frac{6}{t^{3}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

चरण 8.3.2

$\frac{6}{t^{3}}$ और $t^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6 t^{2}}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

चरण 8.3.3

$t^{2}$ और $t^{3}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.1

$6 t^{2}$ में से $t^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

चरण 8.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.2.1

$t^{3}$ में से $t^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{2} t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

चरण 8.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{2} t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

चरण 8.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

चरण 8.3.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

चरण 8.3.5

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + 2 \frac{3}{t^{2}} t$

चरण 8.3.6

$2$ और $\frac{3}{t^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{2 \cdot 3}{t^{2}} t$

चरण 8.3.7

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6}{t^{2}} t$

चरण 8.3.8

$\frac{6}{t^{2}}$ और $t$ को मिलाएं.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6 t}{t^{2}}$

चरण 8.3.9

$t$ और $t^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.9.1

$6 t$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t^{2}}$

चरण 8.3.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.9.2.1

$t^{2}$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t \cdot t}$

चरण 8.3.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t \cdot t}$

चरण 8.3.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6}{t}$

चरण 8.3.10

$- \frac{6}{t}$ और $\frac{6}{t}$ जोड़ें.

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t + 0$

चरण 8.3.11

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t$

चरण 8.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 2 t + \frac{6}{t^{3}}$