कैलकुलस उदाहरण

${(5 x + 1)}^{5} {(4 x + 1)}^{- 2}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = {(5 x + 1)}^{5}$ और $g (x) = {(4 x + 1)}^{- 2}$ है.

${(5 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{- 2}] + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = 4 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $4 x + 1$ के रूप में सेट करें.

${(5 x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 x + 1$ से बदलें.

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

चरण 3.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

चरण 3.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 + 0)) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

चरण 3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$4$ और $0$ जोड़ें.

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} \cdot 4) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

चरण 3.6.2

$4$ को $- 2$ से गुणा करें.

${(5 x + 1)}^{5} (- 8 {(4 x + 1)}^{- 3}) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

${(5 x + 1)}^{5} (- 8 \frac{1}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

चरण 4.2

$- 8$ और $\frac{1}{{(4 x + 1)}^{3}}$ को मिलाएं.

${(5 x + 1)}^{5} \frac{- 8}{{(4 x + 1)}^{3}} + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

चरण 4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{5}$ और $g (x) = 5 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $5 x + 1$ के रूप में सेट करें.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

चरण 5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

चरण 5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $5 x + 1$ से बदलें.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

चरण 6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 6.2

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 6.3

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 6.4

$5$ को $1$ से गुणा करें.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 6.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 + 0))$

चरण 6.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

$5$ और $0$ जोड़ें.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} \cdot 5)$

चरण 6.6.2

$5$ को $5$ से गुणा करें.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + \frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

चरण 7.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

${(5 x + 1)}^{5}$ और $\frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}$ को मिलाएं.

$- \frac{{(5 x + 1)}^{5} \cdot 8}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

चरण 7.2.2

$8$ को ${(5 x + 1)}^{5}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{8 \cdot {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

चरण 7.2.3

$25$ और $\frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25}{{(4 x + 1)}^{2}} {(5 x + 1)}^{4}$

चरण 7.2.4

$\frac{25}{{(4 x + 1)}^{2}}$ और ${(5 x + 1)}^{4}$ को मिलाएं.

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}}$

चरण 7.2.5

$\frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4 x + 1}{4 x + 1}$ से गुणा करें.

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{4 x + 1}{4 x + 1}$

चरण 7.2.6

प्रत्येक व्यंजक को ${(4 x + 1)}^{3}$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.1

$\frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}}$ को $\frac{4 x + 1}{4 x + 1}$ से गुणा करें.

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2} (4 x + 1)}$

चरण 7.2.6.2

घातांक जोड़कर ${(4 x + 1)}^{2}$ को $4 x + 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.2.1

${(4 x + 1)}^{2}$ को $4 x + 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.6.2.1.1

$4 x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2} {(4 x + 1)}^{1}}$

चरण 7.2.6.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2 + 1}}$

चरण 7.2.6.2.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

चरण 7.2.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 8 {(5 x + 1)}^{5} + 25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

चरण 7.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$- 8 {(5 x + 1)}^{5} + 25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)$ में से ${(5 x + 1)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

$- 8 {(5 x + 1)}^{5}$ में से ${(5 x + 1)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1)) + 25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

चरण 7.3.1.2

$25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)$ में से ${(5 x + 1)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1)) + {(5 x + 1)}^{4} (25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

चरण 7.3.1.3

${(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1)) + {(5 x + 1)}^{4} (25 (4 x + 1))$ में से ${(5 x + 1)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1) + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

चरण 7.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x) - 8 \cdot 1 + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

चरण 7.3.3

$5$ को $- 8$ से गुणा करें.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 \cdot 1 + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

चरण 7.3.4

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

चरण 7.3.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 25 (4 x) + 25 \cdot 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

चरण 7.3.6

$4$ को $25$ से गुणा करें.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 100 x + 25 \cdot 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

चरण 7.3.7

$25$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 100 x + 25)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

चरण 7.3.8

$- 40 x$ और $100 x$ जोड़ें.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (60 x - 8 + 25)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

चरण 7.3.9

$- 8$ और $25$ जोड़ें.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (60 x + 17)}{{(4 x + 1)}^{3}}$