कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x (e^{- x^{2}})$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{- x^{2}}$ है.

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x^{2}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x^{2}$ से बदलें.

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 7.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7.2

$- 2$ को $e^{- x^{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

चरण 9

$e^{- x^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

चरण 10

सरल करें.

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चरण 10.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

चरण 10.2

गुणनखंडों को $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ में पुन: क्रमित करें.

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$