कैलकुलस उदाहरण

$y = {\sin (5 x)}^{8 x}$

चरण 1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

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चरण 1.1

${\sin (5 x)}^{8 x}$ को $e^{\ln ({\sin (5 x)}^{8 x})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (5 x)}^{8 x})}]$

चरण 1.2

$8 x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({\sin (5 x)}^{8 x})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{8 x \ln (\sin (5 x))}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 8 x \ln (\sin (5 x))$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $8 x \ln (\sin (5 x))$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [8 x \ln (\sin (5 x))]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [8 x \ln (\sin (5 x))]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $8 x \ln (\sin (5 x))$ से बदलें.

$e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \frac{d}{d x} [8 x \ln (\sin (5 x))]$

चरण 3

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x \ln (\sin (5 x))$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (5 x))]$ है.

$e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (8 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (5 x))])$

चरण 3.2

$8$ को $e^{8 x \ln (\sin (5 x))}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$8 \cdot e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (5 x))]$

चरण 4

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (\sin (5 x))$ है.

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (5 x))] + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \sin (5 x)$ है.

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चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\sin (5 x)$ के रूप में सेट करें.

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 5.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (5 x)$ से बदलें.

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\frac{1}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 6

$\frac{1}{\sin (5 x)}$ को $\csc (5 x)$ में बदलें.

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 5 x$ है.

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चरण 7.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $5 x$ के रूप में सेट करें.

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7.2

$u_{3}$ के संबंध में $\sin (u_{3})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{3})$ है.

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $5 x$ से बदलें.

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8

अवकलन करें.

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चरण 8.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 8.3.1

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \cos (5 x) \cdot 5) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.3.2

$5$ को $\csc (5 x) \cos (5 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \cdot (\csc (5 x) \cos (5 x))) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.4

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \ln (\sin (5 x)) \cdot 1)$

चरण 8.5

$\ln (\sin (5 x))$ को $1$ से गुणा करें.

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \ln (\sin (5 x)))$

चरण 9

सरल करें.

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चरण 9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \csc (5 x) \cos (5 x))) + 8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))$

चरण 9.2

$5$ को $8$ से गुणा करें.

$40 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} x \csc (5 x) \cos (5 x) + 8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))$

चरण 9.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$40 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} x \cos (5 x) \csc (5 x) + 8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))$