कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{9} \sqrt{81 - x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = 9 \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 9 \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $9 \cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{81 - {(9 \sin (t))}^{2}} (9 \cos (t)) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{81 - {(9 \sin (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

उत्पाद नियम को $9 \sin (t)$ पर लागू करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{81 - (9^{2} \sin^{2} (t))} (9 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.1.2

$9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{81 - (81 \sin^{2} (t))} (9 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.1.3

$81$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{81 - 81 \sin^{2} (t)} (9 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.2

$81$ में से $81$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{81 (1) - 81 \sin^{2} (t)} (9 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.3

$- 81 \sin^{2} (t)$ में से $81$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{81 (1) + 81 (- \sin^{2} (t))} (9 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.4

$81 (1) + 81 (- \sin^{2} (t))$ में से $81$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{81 (1 - \sin^{2} (t))} (9 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{81 \cos^{2} (t)} (9 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.6

$81 \cos^{2} (t)$ को ${(9 \cos (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(9 \cos (t))}^{2}} (9 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 9 \cos (t) (9 \cos (t)) d t$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$9$ को $9$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 81 \cos (t) \cos (t) d t$

चरण 2.2.2

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 81 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

चरण 2.2.3

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 81 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

चरण 2.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 81 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

चरण 2.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 81 \cos^{2} (t) d t$

चरण 3

चूँकि $81$ बटे $t$ अचर है, $81$ को समाकलन से हटा दें.

$81 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

चरण 4

$\cos^{2} (t)$ को $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$81 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$81 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

चरण 6

$\frac{1}{2}$ और $81$ को मिलाएं.

$\frac{81}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{81}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{81}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

चरण 9

मान लीजिए $u = 2 t$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u = 2 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 9.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 9.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 9.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 9.2

$t$ के लिए $u = 2 t$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 9.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 9.4

$t$ के लिए $u = 2 t$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

चरण 9.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

चरण 9.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = π$

चरण 9.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

चरण 9.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{81}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 10

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{81}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 11

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{81}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

चरण 12

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{81}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

चरण 13

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{π}{2}$ पर और $0$ पर $t$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{81}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

चरण 13.2

$π$ पर और $0$ पर $\sin (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{81}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

चरण 13.3

$\frac{π}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{81}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{81}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

चरण 14.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{81}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

चरण 14.3

$\sin (π)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{81}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

चरण 14.4

$\frac{1}{2}$ और $\sin (π)$ को मिलाएं.

$\frac{81}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{81}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

चरण 15.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$\frac{81}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

चरण 15.2.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{81}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

चरण 15.3

$π$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{81}{2} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 15.4

$\frac{81}{2} \cdot \frac{π}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.1

$\frac{81}{2}$ को $\frac{π}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{81 π}{2 \cdot 2}$

चरण 15.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{81 π}{4}$

चरण 16

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{81 π}{4}$

दशमलव रूप:

$63.61725123 \dots$

चरण 17