कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (2 x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \sin (2 x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\cos (2 x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

चरण 2.2

$x$ और $\frac{\cos (2 x)}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

चरण 3

चूँकि $- \frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $- \frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

चरण 4.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 5.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 5.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 5.2

$x$ के लिए $u = 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 5.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 5.4

$x$ के लिए $u = 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

चरण 5.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

चरण 5.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = π$

चरण 5.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

चरण 5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 6

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

चरण 8.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

चरण 9

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

चरण 10

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{π}{2}$ पर और $0$ पर $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

चरण 10.2

$π$ पर और $0$ पर $\sin (u)$ का मान ज्ञात करें.

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

चरण 10.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$2$ और $\frac{π}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

चरण 10.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

चरण 10.3.2.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (π)}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

चरण 10.3.3

$\frac{π}{2}$ और $\cos (π)$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

चरण 10.3.4

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2}$ को फिर से लिखें.

$- (\frac{π \cos (π)}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

चरण 10.3.5

$\frac{π \cos (π)}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{π \cos (π)}{2 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

चरण 10.3.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

चरण 10.3.7

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

चरण 10.3.8

$0$ को $\cos (0)$ से गुणा करें.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

चरण 10.3.9

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.9.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

चरण 10.3.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.9.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

चरण 10.3.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

चरण 10.3.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

चरण 10.3.9.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

चरण 10.3.10

$- \frac{π \cos (π)}{4}$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

चरण 10.3.11

$\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot \frac{4}{4}$

चरण 10.3.12

$\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

चरण 10.3.13

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

चरण 10.3.14

$4$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

चरण 10.3.15

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.15.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

चरण 10.3.15.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- π \cos (π) + 1 (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

चरण 10.3.16

$\sin (π) - \sin (0)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - \sin (0)}{4}$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - 0}{4}$

चरण 11.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) + 0}{4}$

चरण 11.3

$- π \cos (π) + \sin (π)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π)}{4}$

चरण 11.4

$- π \cos (π)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (π \cos (π)) + \sin (π)}{4}$

चरण 11.5

$\sin (π)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))}{4}$

चरण 11.6

$- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

चरण 11.7

$- (π \cos (π) - \sin (π))$ को $- 1 (π \cos (π) - \sin (π))$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

चरण 11.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{π \cos (π) - \sin (π)}{4}$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$- \frac{π (- \cos (0)) - \sin (π)}{4}$

चरण 12.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- \frac{π (- 1 \cdot 1) - \sin (π)}{4}$

चरण 12.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{π \cdot - 1 - \sin (π)}{4}$

चरण 12.4

$- 1$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{- 1 \cdot π - \sin (π)}{4}$

चरण 12.5

$- 1 π$ को $- π$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{- π - \sin (π)}{4}$

चरण 12.6

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$- \frac{- π - \sin (0)}{4}$

चरण 12.7

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$- \frac{- π - 0}{4}$

चरण 12.8

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{- π + 0}{4}$

चरण 12.9

$- π$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{- π}{4}$

चरण 12.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- - \frac{π}{4}$

चरण 12.11

$- - \frac{π}{4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.11.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{π}{4}$

चरण 12.11.2

$\frac{π}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{π}{4}$

चरण 13

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{π}{4}$

दशमलव रूप:

$0.78539816 \dots$