कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \cos (\ln (2 x + 1))$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \ln (2 x + 1)$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\ln (2 x + 1)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\ln (2 x + 1)$ से बदलें.

$- \sin (\ln (2 x + 1)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 2 x + 1$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

चरण 2.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

चरण 2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 + 0))$

चरण 3.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 3.6.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} \cdot 2)$

चरण 3.6.2

$\frac{1}{2 x + 1}$ और $2$ को मिलाएं.

$- \sin (\ln (2 x + 1)) \frac{2}{2 x + 1}$

चरण 3.6.3

$\frac{2}{2 x + 1}$ और $\sin (\ln (2 x + 1))$ को मिलाएं.

$- \frac{2 \sin (\ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$