कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

चरण 1

x- अंत:खंड ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $y$ को प्रतिस्थापित करें और $x$ को हल करें.

$0 = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

चरण 1.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण को $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$

चरण 1.2.2

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

चरण 1.2.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

चरण 1.2.2.3

$3$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $3$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.3.1

$3$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

चरण 1.2.2.3.2

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$27 - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

चरण 1.2.2.3.3

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$27 - 9 \cdot 9 + 24 \cdot 3 - 18$

चरण 1.2.2.3.4

$- 9$ को $9$ से गुणा करें.

$27 - 81 + 24 \cdot 3 - 18$

चरण 1.2.2.3.5

$27$ में से $81$ घटाएं.

$- 54 + 24 \cdot 3 - 18$

चरण 1.2.2.3.6

$24$ को $3$ से गुणा करें.

$- 54 + 72 - 18$

चरण 1.2.2.3.7

$- 54$ और $72$ जोड़ें.

$18 - 18$

चरण 1.2.2.3.8

$18$ में से $18$ घटाएं.

$0$

चरण 1.2.2.4

चूँकि $3$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 3$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18}{x - 3}$

चरण 1.2.2.5

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ को $x - 3$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$3$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$18$

चरण 1.2.2.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$

चरण 1.2.2.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

चरण 1.2.2.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - 3 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

चरण 1.2.2.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

चरण 1.2.2.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

चरण 1.2.2.5.7

भाज्य $- 6 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

चरण 1.2.2.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$

चरण 1.2.2.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 6 x^{2} + 18 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$

चरण 1.2.2.5.10

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$

चरण 1.2.2.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

चरण 1.2.2.5.12

भाज्य $6 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

चरण 1.2.2.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							+	$6 x$	-	$18$

चरण 1.2.2.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $6 x - 18$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$

चरण 1.2.2.5.15

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$
										$0$

चरण 1.2.2.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 6 x + 6$

चरण 1.2.2.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ लिखें.

$(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$

चरण 1.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

चरण 1.2.4

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 1.2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 1.2.5

$x^{2} - 6 x + 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$x^{2} - 6 x + 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

चरण 1.2.5.2

$x$ के लिए $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 1.2.5.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 6$ और $c = 6$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.3.1.1

$- 6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 6$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ को $6$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.3.1.3

$36$ में से $24$ घटाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.3.1.4

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.3.1.4.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.3.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.3.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

चरण 1.2.5.2.3.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

चरण 1.2.5.2.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.4.1.1

$- 6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 6$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.4.1.2.2

$- 4$ को $6$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.4.1.3

$36$ में से $24$ घटाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.4.1.4

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.4.1.4.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.4.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.4.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

चरण 1.2.5.2.4.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

चरण 1.2.5.2.4.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = 3 + \sqrt{3}$

चरण 1.2.5.2.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.5.1.1

$- 6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 6$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.5.1.2.2

$- 4$ को $6$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.5.1.3

$36$ में से $24$ घटाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.5.1.4

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.5.1.4.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.5.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.5.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.5.2.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

चरण 1.2.5.2.5.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

चरण 1.2.5.2.5.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = 3 - \sqrt{3}$

चरण 1.2.5.2.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

चरण 1.2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 3, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

चरण 1.3

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

चरण 2

y- अंत:खंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

y- अंत:खंड (ओं) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $x$ को प्रतिस्थापित करें और $y$ को हल करें.

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

चरण 2.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

चरण 2.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 24 (0) - 18$

चरण 2.2.3

कोष्ठक हटा दें.

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

चरण 2.2.4

${(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

चरण 2.2.4.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 - 9 \cdot 0 + 24 (0) - 18$

चरण 2.2.4.1.3

$- 9$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 + 24 (0) - 18$

चरण 2.2.4.1.4

$24$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 + 0 - 18$

चरण 2.2.4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 0 - 18$

चरण 2.2.4.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 - 18$

चरण 2.2.4.2.3

$0$ में से $18$ घटाएं.

$y = - 18$

चरण 2.3

y- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, - 18)$

चरण 3

प्रतिच्छेदनों को सूचीबद्ध करें.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, - 18)$

चरण 4