कैलकुलस उदाहरण

$p (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$

चरण 1

$x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27 = 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

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चरण 2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

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चरण 2.1.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ है.

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चरण 2.1.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

चरण 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

चरण 2.1.1.3

$3$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $3$ बहुपद का मूल है.

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चरण 2.1.1.3.1

$3$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 27 \cdot 3 - 27$

चरण 2.1.1.3.2

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$27 - 9 \cdot 3^{2} + 27 \cdot 3 - 27$

चरण 2.1.1.3.3

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$27 - 9 \cdot 9 + 27 \cdot 3 - 27$

चरण 2.1.1.3.4

$- 9$ को $9$ से गुणा करें.

$27 - 81 + 27 \cdot 3 - 27$

चरण 2.1.1.3.5

$27$ में से $81$ घटाएं.

$- 54 + 27 \cdot 3 - 27$

चरण 2.1.1.3.6

$27$ को $3$ से गुणा करें.

$- 54 + 81 - 27$

चरण 2.1.1.3.7

$- 54$ और $81$ जोड़ें.

$27 - 27$

चरण 2.1.1.3.8

$27$ में से $27$ घटाएं.

$0$

चरण 2.1.1.4

चूँकि $3$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 3$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27}{x - 3}$

चरण 2.1.1.5

$x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ को $x - 3$ से विभाजित करें.

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चरण 2.1.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$3$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$27 x$

$27$

चरण 2.1.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$

चरण 2.1.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

चरण 2.1.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - 3 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

चरण 2.1.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

चरण 2.1.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$

चरण 2.1.1.5.7

भाज्य $- 6 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$

चरण 2.1.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$

चरण 2.1.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 6 x^{2} + 18 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$

चरण 2.1.1.5.10

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$

चरण 2.1.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$

चरण 2.1.1.5.12

भाज्य $9 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$

चरण 2.1.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$
							+	$9 x$	-	$27$

चरण 2.1.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $9 x - 27$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$
							-	$9 x$	+	$27$

चरण 2.1.1.5.15

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$27 x$	-	$27$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$9 x$	-	$27$
							-	$9 x$	+	$27$
										$0$

चरण 2.1.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 6 x + 9$

चरण 2.1.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ लिखें.

$(x - 3) (x^{2} - 6 x + 9) = 0$

चरण 2.1.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x - 3) (x^{2} - 6 x + 3^{2}) = 0$

चरण 2.1.2.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

चरण 2.1.2.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$(x - 3) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

चरण 2.1.2.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = x$ और $b = 3$ है.

$(x - 3) {(x - 3)}^{2} = 0$

चरण 2.1.3

समान गुणनखंडों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$x - 3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x - 3) {(x - 3)}^{2} = 0$

चरण 2.1.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

${(x - 3)}^{1 + 2} = 0$

चरण 2.1.3.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

${(x - 3)}^{3} = 0$

चरण 2.2

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 2.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 3