कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$

चरण 1

$2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4 = 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

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चरण 2.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

चरण 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

चरण 2.1.3

$- 0.5$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 0.5$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$- 0.5$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$2 {(- 0.5)}^{3} - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

चरण 2.1.3.2

$- 0.5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \cdot - 0.125 - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

चरण 2.1.3.3

$2$ को $- 0.125$ से गुणा करें.

$- 0.25 - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

चरण 2.1.3.4

$- 0.5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 0.25 - 1 \cdot 0.25 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

चरण 2.1.3.5

$- 1$ को $0.25$ से गुणा करें.

$- 0.25 - 0.25 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

चरण 2.1.3.6

$- 0.25$ में से $0.25$ घटाएं.

$- 0.5 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

चरण 2.1.3.7

$- 9$ को $- 0.5$ से गुणा करें.

$- 0.5 + 4.5 - 4$

चरण 2.1.3.8

$- 0.5$ और $4.5$ जोड़ें.

$4 - 4$

चरण 2.1.3.9

$4$ में से $4$ घटाएं.

$0$

चरण 2.1.4

चूँकि $- 0.5$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $2 x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4}{2 x + 1}$

चरण 2.1.5

$2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ को $2 x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$9 x$

$4$

चरण 2.1.5.2

भाज्य $2 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$

चरण 2.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 2.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 x^{3} + x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 2.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

चरण 2.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$

चरण 2.1.5.7

भाज्य $- 2 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$

चरण 2.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

चरण 2.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 2 x^{2} - x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

चरण 2.1.5.10

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$

चरण 2.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$

चरण 2.1.5.12

भाज्य $- 8 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$

चरण 2.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	-	$4$

चरण 2.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 8 x - 4$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	+	$4$

चरण 2.1.5.15

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	+	$4$
										$0$

चरण 2.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - x - 4$

चरण 2.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ लिखें.

$(2 x + 1) (x^{2} - x - 4) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 x + 1 = 0$

$x^{2} - x - 4 = 0$

चरण 2.3

$2 x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$2 x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x + 1 = 0$

चरण 2.3.2

$x$ के लिए $2 x + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$2 x = - 1$

चरण 2.3.2.2

$2 x = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

$2 x = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 2.3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 2.3.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 1}{2}$

चरण 2.3.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{1}{2}$

चरण 2.4

$x^{2} - x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x^{2} - x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - x - 4 = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $x^{2} - x - 4 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.4.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 1$ और $c = - 4$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.3

$1$ और $16$ जोड़ें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

चरण 2.4.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

चरण 2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(2 x + 1) (x^{2} - x - 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

चरण 3

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

दशमलव रूप:

$x = - 0.5, 2.56155281 \dots, - 1.56155281 \dots$

चरण 4