कैलकुलस उदाहरण

$w = u^{3}$ , $u = \frac{t - 1}{t + 1}$

चरण 1

चेन रूल के अनुसार $w$ बटे $t$ का व्युत्पन्न, $u$ गुना बटे $w$ के व्युत्पन्न, $u$ बटे $t$ के व्युत्पन्न के बराबर है.

$\frac{d w}{d t} = \frac{d w}{d u} \cdot \frac{d u}{d t}$

चरण 2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 u^{2}$

चरण 3

$\frac{d u}{d t}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ है, जहाँ $f (t) = t - 1$ और $g (t) = t + 1$ है.

$\frac{(t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1] - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ है.

$\frac{(t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 3.2.3

चूंकि $t$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(t + 1) (1 + 0) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 3.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(t + 1) \cdot 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 3.2.4.2

$t + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{t + 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 3.2.5

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ है.

$\frac{t + 1 - (t - 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 3.2.6

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 3.2.7

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + 0)}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 3.2.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{t + 1 - (t - 1) \cdot 1}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 3.2.8.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{t + 1 - (t - 1)}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{t + 1 - t - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$t + 1 - t - - 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

$t$ में से $t$ घटाएं.

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.2.1.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.2.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1 + 1}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 3.3.2.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 4

$\frac{d w}{d u}$ को $\frac{d u}{d t}$ से गुणा करें.

$\frac{d w}{d t} = (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$

चरण 5

दाईं ओर के $(\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d w}{d t} = 3 (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot u^{2}$

चरण 5.2

$3 \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$3$ और $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{d w}{d t} = \frac{3 \cdot 2}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

चरण 5.2.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

चरण 5.3

$\frac{6}{{(t + 1)}^{2}}$ और $u^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 6

$u$ के मान को व्युत्पन्न $\frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ में प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(\frac{t - 1}{t + 1})}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 7

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

उत्पाद नियम को $\frac{t - 1}{t + 1}$ पर लागू करें.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 (\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}})}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 7.2

$6$ और $\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{d w}{d t} = \frac{\frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 7.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$

चरण 7.4

जोड़ना.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2} {(t + 1)}^{2}}$

चरण 7.5

घातांक जोड़कर ${(t + 1)}^{2}$ को ${(t + 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2 + 2}}$

चरण 7.5.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{4}}$

चरण 7.6

$6 {(t - 1)}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{4}}$