कैलकुलस उदाहरण

$q = \sqrt{15 r - r^{7}}$

चरण 1

$\sqrt{15 r - r^{7}}$ को ${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$q = {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d q} (q) = \frac{d}{d q} ({(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ $n q^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ $f' (g (q)) g' (q)$ है, जहाँ $f (q) = q^{\frac{1}{2}}$ और $g (q) = 15 r - r^{7}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $15 r - r^{7}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

चरण 4.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

चरण 4.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $15 r - r^{7}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

चरण 4.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

चरण 4.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

चरण 4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

चरण 4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

चरण 4.5.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

चरण 4.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

चरण 4.6.2

$\frac{1}{2}$ और ${(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

चरण 4.6.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

चरण 4.7

योग नियम के अनुसार, $q$ के संबंध में $15 r - r^{7}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d q} [15 r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}]$ है.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d q} [15 r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

चरण 4.8

चूंकि $15$ , $q$ के संबंध में स्थिर है, $q$ के संबंध में $15 r$ का व्युत्पन्न $15 \frac{d}{d q} [r]$ है.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 \frac{d}{d q} [r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

चरण 4.9

$\frac{d}{d q} [r]$ को $r'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

चरण 4.10

चूंकि $- 1$ , $q$ के संबंध में स्थिर है, $q$ के संबंध में $- r^{7}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d q} [r^{7}]$ है.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - \frac{d}{d q} [r^{7}])$

चरण 4.11

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ $f' (g (q)) g' (q)$ है, जहाँ $f (q) = q^{7}$ और $g (q) = r$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.11.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $r$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d q} [r]))$

चरण 4.11.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 7$ है.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

चरण 4.11.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $r$ से बदलें.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (7 r^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

चरण 4.12

$7$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - 7 (r^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

चरण 4.13

$\frac{d}{d q} [r]$ को $r'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - 7 r^{6} r')$

चरण 4.14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.14.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r') + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

चरण 4.14.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.14.2.1

$15$ और $\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{15}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} r' + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

चरण 4.14.2.2

$\frac{15}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ और $r'$ को मिलाएं.

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

चरण 4.14.2.3

$- 7$ और $\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (r^{6} r')$

चरण 4.14.2.4

$r^{6}$ और $\frac{- 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{r^{6} \cdot - 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} r'$

चरण 4.14.2.5

$\frac{r^{6} \cdot - 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ और $r'$ को मिलाएं.

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{r^{6} \cdot - 7 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.14.2.6

$- 7$ को $r^{6}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 7 \cdot r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.14.2.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.14.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$1 = - \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6

$r'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

चरण 6.2

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, 1$

चरण 6.2.2

LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जिसे सभी संख्याएँ समान रूप से विभाजित करती हैं.

1. प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सूची बनाइए.

2. प्रत्येक गुणनखंड को किसी भी संख्या में जितनी बार आता है उतनी बार गुणा करें.

चरण 6.2.3

चूंकि $2$ का $1$ और $2$ के अलावा कोई गुणनखंड नहीं है.

$2$ एक अभाज्य संख्या है

चरण 6.2.4

संख्या $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसका केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, जो स्वयं है.

अभाज्य संख्या नहीं

चरण 6.2.5

$2, 2, 1$ का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सभी अभाज्य गुणन खंड में से किसी एक संख्या में आने वाली सबसे बड़ी संख्या को गुणा करने का परिणाम है.

$2$

चरण 6.2.6

$15 r - r^{7}$ का गुणनखंड $15 r - r^{7}$ ही है.

$(15 r - r^{7}) = 15 r - r^{7}$

$(15 r - r^{7})$ $1$ बार आता है.

चरण 6.2.7

${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ का LCM (न्यूनतम सामान्य गुणक) सभी गुणनखंडों को किसी भी पद में सबसे बड़ी संख्या में गुणा करने का परिणाम है.

${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.2.8

कुछ संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक $LCM$ वह सबसे छोटी संख्या होती है, जिसके गुणनखंड होते हैं.

$2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.3

भिन्नों को हटाने के लिए $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ के प्रत्येक पद को $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ के प्रत्येक पद को $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1

$2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1.1

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- 7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.3.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण 6.3.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.3.2.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- 7 r^{6} r' + 2 \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.3.2.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 7 r^{6} r' + 2 \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.3.2.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{{(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.3.2.1.4

${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{{(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.3.2.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 7 r^{6} r' + 15 r' = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$- 7 r^{6} r' + 15 r' = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.4

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$- 7 r^{6} r' + 15 r'$ में से $r'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1.1

$- 7 r^{6} r'$ में से $r'$ का गुणनखंड करें.

$r' (- 7 r^{6}) + 15 r' = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.4.1.2

$15 r'$ में से $r'$ का गुणनखंड करें.

$r' (- 7 r^{6}) + r' \cdot 15 = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.4.1.3

$r' (- 7 r^{6}) + r' \cdot 15$ में से $r'$ का गुणनखंड करें.

$r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.4.2

$r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ के प्रत्येक पद को $- 7 r^{6} + 15$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1

$r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ के प्रत्येक पद को $- 7 r^{6} + 15$ से विभाजित करें.

$\frac{r' (- 7 r^{6} + 15)}{- 7 r^{6} + 15} = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

चरण 6.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.2.1

$- 7 r^{6} + 15$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{r' (- 7 r^{6} + 15)}{- 7 r^{6} + 15} = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

चरण 6.4.2.2.1.2

$r'$ को $1$ से विभाजित करें.

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

चरण 6.4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.3.1

$- 7 r^{6}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6}) + 15}$

चरण 6.4.2.3.2

$15$ को $- 1 (- 15)$ के रूप में फिर से लिखें.

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6}) - 1 (- 15)}$

चरण 6.4.2.3.3

$- (7 r^{6}) - 1 (- 15)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6} - 15)}$

चरण 6.4.2.3.4

ऋणात्मक रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.3.4.1

$- (7 r^{6} - 15)$ को $- 1 (7 r^{6} - 15)$ के रूप में फिर से लिखें.

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 1 (7 r^{6} - 15)}$

चरण 6.4.2.3.4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$r' = - \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{7 r^{6} - 15}$

चरण 7

$r'$ को $\frac{d r}{d q}$ से बदलें.

$\frac{d r}{d q} = - \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{7 r^{6} - 15}$