कैलकुलस उदाहरण

$v = \frac{1 + x - 4 \sqrt{x}}{x}$

चरण 1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$v' = \frac{1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}}{x}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} v' = \frac{d}{d x} (\frac{1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}}{x})$

चरण 3

$x$ के संबंध में $v'$ का व्युत्पन्न $v''$ है.

$v''$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x$ है.

$\frac{x \frac{d}{d x} [1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}] - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$\frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [x]$ जोड़ें.

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.2.5

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$\frac{x (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.8

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{x (1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.9

$- 4$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x (1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{x (1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.11

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.12

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x (1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.12.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x (1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{x (1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.14

$\frac{x (1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{x^{2}}$

चरण 4.15

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x (1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

चरण 4.16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.16.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot 1 + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

चरण 4.16.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot 1 + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

चरण 4.16.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.16.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.16.3.1.1

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

चरण 4.16.3.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{x - x \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

चरण 4.16.3.1.3

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x - \frac{2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

चरण 4.16.3.1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $x^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{x - (2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

चरण 4.16.3.1.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.16.3.1.5.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{x - (2 (x^{- \frac{1}{2}} x)) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

चरण 4.16.3.1.5.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.16.3.1.5.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x - (2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

चरण 4.16.3.1.5.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x - (2 x^{- \frac{1}{2} + 1}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

चरण 4.16.3.1.5.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{x - (2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

चरण 4.16.3.1.5.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x - (2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

चरण 4.16.3.1.5.5

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{x - (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

चरण 4.16.3.1.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

चरण 4.16.3.1.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

चरण 4.16.3.1.8

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 - x + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

चरण 4.16.3.2

$x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 - x + 4 x^{\frac{1}{2}}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.16.3.2.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 0 + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

चरण 4.16.3.2.2

$- 2 x^{\frac{1}{2}} - 1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

चरण 4.16.3.3

$- 2 x^{\frac{1}{2}}$ और $4 x^{\frac{1}{2}}$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{2}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$v'' = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{2}}$

चरण 6

$v'$ को $\frac{d v}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{2}}$