कैलकुलस उदाहरण

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8)$

चरण 2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ $n s^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $s$ के संबंध में $\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$ है.

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $s$ के संबंध में स्थिर है, $s$ के संबंध में $\frac{1}{3} t^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}]$ है.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ $f' (g (s)) g' (s)$ है, जहाँ $f (s) = s^{3}$ और $g (s) = t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $t$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{1}{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $t$ से बदलें.

$\frac{1}{3} (3 t^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.2.3

$\frac{d}{d s} [t]$ को $t'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} (3 t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.2.4

$3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{3} (t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.2.5

$t^{2}$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{t^{2} \cdot 3}{3} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.2.6

$\frac{t^{2} \cdot 3}{3}$ और $t'$ को मिलाएं.

$\frac{t^{2} \cdot 3 t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.2.7

$3$ को $t^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \cdot t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.2.8

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.2.8.2

$t^{2} t'$ को $1$ से विभाजित करें.

$t^{2} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d s} [- 5 t^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $- 5$ , $s$ के संबंध में स्थिर है, $s$ के संबंध में $- 5 t^{2}$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d s} [t^{2}]$ है.

$t^{2} t' - 5 \frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ $f' (g (s)) g' (s)$ है, जहाँ $f (s) = s^{2}$ और $g (s) = t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $t$ के रूप में सेट करें.

$t^{2} t' - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$t^{2} t' - 5 (2 u_{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $t$ से बदलें.

$t^{2} t' - 5 (2 t \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.3.3

$\frac{d}{d s} [t]$ को $t'$ के रूप में फिर से लिखें.

$t^{2} t' - 5 (2 t t') + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.3.4

$2$ को $- 5$ से गुणा करें.

$t^{2} t' - 10 t t' + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.4

$\frac{d}{d s} [16 t]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चूंकि $16$ , $s$ के संबंध में स्थिर है, $s$ के संबंध में $16 t$ का व्युत्पन्न $16 \frac{d}{d s} [t]$ है.

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.4.2

$\frac{d}{d s} [t]$ को $t'$ के रूप में फिर से लिखें.

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + \frac{d}{d s} [8]$

चरण 3.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

चूंकि $s$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $s$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + 0$

चरण 3.5.2

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ और $0$ जोड़ें.

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$1 = t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

चरण 5

$t'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण को $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$

चरण 5.2

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ में से $t'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$t^{2} t'$ में से $t'$ का गुणनखंड करें.

$t' t^{2} - 10 t t' + 16 t' = 1$

चरण 5.2.2

$- 10 t t'$ में से $t'$ का गुणनखंड करें.

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + 16 t' = 1$

चरण 5.2.3

$16 t'$ में से $t'$ का गुणनखंड करें.

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

चरण 5.2.4

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t)$ में से $t'$ का गुणनखंड करें.

$t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

चरण 5.2.5

$t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16$ में से $t'$ का गुणनखंड करें.

$t' (t^{2} - 10 t + 16) = 1$

चरण 5.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

AC विधि का उपयोग करके $t^{2} - 10 t + 16$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $16$ है और जिसका योग $- 10$ है.

$- 8, - 2$

चरण 5.3.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$t' ((t - 8) (t - 2)) = 1$

चरण 5.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$t' (t - 8) (t - 2) = 1$

चरण 5.4

$t' (t - 8) (t - 2) = 1$ के प्रत्येक पद को $(t - 8) (t - 2)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$t' (t - 8) (t - 2) = 1$ के प्रत्येक पद को $(t - 8) (t - 2)$ से विभाजित करें.

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

चरण 5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$t - 8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

चरण 5.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

चरण 5.4.2.2

$t - 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

चरण 5.4.2.2.2

$t'$ को $1$ से विभाजित करें.

$t' = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

चरण 6

$t'$ को $\frac{d t}{d s}$ से बदलें.

$\frac{d t}{d s} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$