कैलकुलस उदाहरण

$x^{3} + y^{3} = 3 x y^{2}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y^{2})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + y^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x y^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

चरण 3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y^{2}$ है.

$3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.4

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.5

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

चरण 3.7

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$3 (2 x y y' + y^{2})$

चरण 3.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (2 x y y') + 3 y^{2}$

चरण 3.8.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$6 x y y' + 3 y^{2}$

चरण 3.8.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$3 y^{2} + 6 x y y'$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 y^{2} + 6 x y y'$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $6 x y y'$ घटाएं.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2}$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x^{2}$ घटाएं.

$3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

चरण 5.3

$3 y^{2} y' - 6 x y y'$ में से $3 y y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$3 y^{2} y'$ में से $3 y y'$ का गुणनखंड करें.

$3 y y' y - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

चरण 5.3.2

$- 6 x y y'$ में से $3 y y'$ का गुणनखंड करें.

$3 y y' y + 3 y y' (- 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

चरण 5.3.3

$3 y y' y + 3 y y' (- 2 x)$ में से $3 y y'$ का गुणनखंड करें.

$3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

चरण 5.4

$3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $3 y (y - 2 x)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $3 y (y - 2 x)$ से विभाजित करें.

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.2.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.2.3

$y - 2 x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.2.3.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{y^{2}}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.3.1.2

$y^{2}$ और $y$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.2.1

$y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.3.1.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.3.1.3

$- 3$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.3.1

$- 3 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.3.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.3.2.1

$3 y (y - 2 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

चरण 5.4.3.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

चरण 5.4.3.1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.3.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.3.2

$\frac{y}{y - 2 x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{y}{y}$ से गुणा करें.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.3.3

प्रत्येक व्यंजक को $(y - 2 x) y$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.3.1

$\frac{y}{y - 2 x}$ को $\frac{y}{y}$ से गुणा करें.

$y' = \frac{y \cdot y}{(y - 2 x) y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.3.3.2

$(y - 2 x) y$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{y \cdot y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.5.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' = \frac{y^{1} y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.3.5.2

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' = \frac{y^{1} y^{1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.3.5.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y' = \frac{y^{1 + 1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.3.5.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y' = \frac{y^{2} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

चरण 5.4.3.5.5

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = y$ और $b = x$ .

$y' = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$