कैलकुलस उदाहरण

$V = p r^{2} (2 p r - 24)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (p r^{2} (2 p r - 24))$

चरण 2

$r$ के संबंध में $V$ का व्युत्पन्न $V'$ है.

$V'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $p$ , $r$ के संबंध में स्थिर है, $r$ के संबंध में $p r^{2} (2 p r - 24)$ का व्युत्पन्न $p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$ है.

$p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$

चरण 3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ है, जहाँ $f (r) = r^{2}$ और $g (r) = 2 p r - 24$ है.

$p (r^{2} \frac{d}{d r} [2 p r - 24] + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

योग नियम के अनुसार, $r$ के संबंध में $2 p r - 24$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]$ है.

$p (r^{2} (\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

चरण 3.3.2

चूंकि $2 p$ , $r$ के संबंध में स्थिर है, $r$ के संबंध में $2 p r$ का व्युत्पन्न $2 p \frac{d}{d r} [r]$ है.

$p (r^{2} (2 p \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

चरण 3.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ $n r^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$p (r^{2} (2 p \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

चरण 3.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$p (r^{2} (2 p + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

चरण 3.3.5

चूंकि $r$ के संबंध में $- 24$ स्थिर है, $r$ के संबंध में $- 24$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$p (r^{2} (2 p + 0) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

चरण 3.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1

$2 p$ और $0$ जोड़ें.

$p (r^{2} (2 p) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

चरण 3.3.6.2

$2$ को $r^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$p (2 \cdot r^{2} p + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

चरण 3.3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ $n r^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$p (2 r^{2} p + (2 p r - 24) (2 r))$

चरण 3.3.8

$2$ को $2 p r - 24$ के बाईं ओर ले जाएं.

$p (2 r^{2} p + 2 \cdot (2 p r - 24) r)$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (2 r^{2} p + (2 (2 p r) + 2 \cdot - 24) r)$

चरण 3.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (2 r^{2} p + 2 (2 p r) r + 2 \cdot - 24 r)$

चरण 3.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (2 r^{2} p) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

चरण 3.4.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

$p$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$p^{1} p (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

चरण 3.4.4.2

$p$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$p^{1} p^{1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

चरण 3.4.4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$p^{1 + 1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

चरण 3.4.4.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$p^{2} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

चरण 3.4.4.5

$2$ को $p^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cdot p^{2} r^{2} + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

चरण 3.4.4.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 (p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

चरण 3.4.4.7

$r$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r)) + p (2 \cdot - 24 r)$

चरण 3.4.4.8

$r$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r^{1})) + p (2 \cdot - 24 r)$

चरण 3.4.4.9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{1 + 1}) + p (2 \cdot - 24 r)$

चरण 3.4.4.10

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{2}) + p (2 \cdot - 24 r)$

चरण 3.4.4.11

$p$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

चरण 3.4.4.12

$p$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p^{1}) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

चरण 3.4.4.13

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{1 + 1} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

चरण 3.4.4.14

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

चरण 3.4.4.15

$2$ को $- 24$ से गुणा करें.

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

चरण 3.4.4.16

$2 p^{2} r^{2}$ और $4 p^{2} r^{2}$ जोड़ें.

$6 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

चरण 3.4.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$V' = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

चरण 5

$V'$ को $\frac{d V}{d r}$ से बदलें.

$\frac{d V}{d r} = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$