कैलकुलस उदाहरण

$\sin (h (x)) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

चरण 1

$h$ को $x$ से गुणा करें.

$\sin (h x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (\sin (h x)) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})$

चरण 3

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = h x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $h x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [h x]$

चरण 3.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [h x]$

चरण 3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $h x$ से बदलें.

$\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x]$

चरण 3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = h$ और $g (x) = x$ है.

$\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [h])$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\cos (h x) (h \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [h])$

चरण 3.3.2

$h$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos (h x) (h + x \frac{d}{d x} [h])$

चरण 3.4

$\frac{d}{d x} [h]$ को $h'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos (h x) (h + x h')$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\cos (h x) h + \cos (h x) (x h')$

चरण 3.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$

चरण 4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} - e^{- x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

चरण 4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

चरण 4.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{- x}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$\frac{1}{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 4.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2} (e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

चरण 4.4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

चरण 4.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

चरण 4.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 4.5.2

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.5.2.2

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.5.3

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot 1)$

चरण 4.5.4

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

चरण 4.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

चरण 4.6.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.2.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{x}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

चरण 4.6.2.2

$\frac{1}{2}$ और $e^{- x}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h' = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

चरण 6

$h'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

गुणनखंडों को $h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$ में पुन: क्रमित करें.

$h \cos (h x) + x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

चरण 6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $h \cos (h x)$ घटाएं.

$x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$

चरण 6.3

$x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ के प्रत्येक पद को $x \cos (h x)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ के प्रत्येक पद को $x \cos (h x)$ से विभाजित करें.

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.2.2

$\cos (h x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.2.2.2

$h'$ को $1$ से विभाजित करें.

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1.1

अलग-अलग भिन्न

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.3.1.2

$\frac{1}{\cos (h x)}$ को $\sec (h x)$ में बदलें.

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.3.1.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$h' = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.3.1.4

जोड़ना.

$h' = \frac{e^{x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.3.1.5

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$h' = \frac{e^{x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.3.1.6

$\frac{e^{x}}{2 x}$ और $\sec (h x)$ को मिलाएं.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.3.1.7

अलग-अलग भिन्न

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.3.1.8

$\frac{1}{\cos (h x)}$ को $\sec (h x)$ में बदलें.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.3.1.9

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.3.1.10

जोड़ना.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.3.1.11

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.3.1.12

$\frac{e^{- x}}{2 x}$ और $\sec (h x)$ को मिलाएं.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.3.1.13

$\cos (h x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1.13.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

चरण 6.3.3.1.13.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h}{x}$

चरण 6.3.3.1.14

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$

चरण 7

$h'$ को $\frac{d h}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d h}{d x} = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$