कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = {(2 x + 1)}^{3}$ और $g (x) = {(2 x - 1)}^{4}$ है.

${(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}] + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = 2 x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x - 1$ के रूप में सेट करें.

${(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

${(2 x + 1)}^{3} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x - 1$ से बदलें.

${(2 x + 1)}^{3} (4 {(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$4$ को ${(2 x + 1)}^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 \cdot {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

चरण 3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

चरण 3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

चरण 3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 + 0) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

चरण 3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} \cdot 2 + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

चरण 3.7.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = 2 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$3$ को ${(2 x - 1)}^{4}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 \cdot {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

चरण 5.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 5.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 5.4

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 5.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 5.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)$

चरण 5.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2$

चरण 5.7.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$ में से $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}$ में से $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1)) + 6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$

चरण 6.1.2

$6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$ में से $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1)) + 2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (3 (2 x - 1))$

चरण 6.1.3

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1)) + 2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (3 (2 x - 1))$ में से $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1) + 3 (2 x - 1))$

चरण 6.2

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1) + 3 (2 x - 1))$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$2 {(2 x - 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2} (4 (2 x + 1) + 3 (2 x - 1))$