कैलकुलस उदाहरण

$s (t) = 2 \sqrt{t + 1}$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 1.1

$\sqrt{t + 1}$ को ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d t} [2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ और $g (t) = t + 1$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $t + 1$ के रूप में सेट करें.

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 1])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $t + 1$ से बदलें.

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

चरण 6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

चरण 7

पदों को सरल करें.

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चरण 7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

चरण 7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{{(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 1])$

चरण 7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$2 (\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

चरण 7.4

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 1]$

चरण 7.5

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 1]$

चरण 7.6

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 1]$

चरण 8

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ है.

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

चरण 9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [1])$

चरण 10

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

चरण 11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 11.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

चरण 11.2

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$