कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{6}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ $f' (g (v)) g' (v)$ है, जहाँ $f (v) = v^{6}$ और $g (v) = \frac{v}{v^{3} + 1}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{v}{v^{3} + 1}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 6$ है.

$6 u^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{v}{v^{3} + 1}$ से बदलें.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ है, जहाँ $f (v) = v$ और $g (v) = v^{3} + 1$ है.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \frac{d}{d v} [v] - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ $n v^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \cdot 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 3.2

$v^{3} + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $v$ के संबंध में $v^{3} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1]$ है.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ $n v^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 3.5

चूंकि $v$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $v$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + 0)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.6.1

$3 v^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v \cdot v^{2}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 4

घातांक जोड़कर $v$ को $v^{2}$ से गुणा करें.

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चरण 4.1

$v^{2}$ ले जाएं.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 4.2

$v^{2}$ को $v$ से गुणा करें.

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चरण 4.2.1

$v$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v^{1})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{2 + 1}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 4.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{3}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 5

$v^{3}$ में से $3 v^{3}$ घटाएं.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

उत्पाद नियम को $\frac{v}{v^{3} + 1}$ पर लागू करें.

$6 \frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 6.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 6.2.1

$6$ और $\frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ को मिलाएं.

$\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \cdot \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 6.2.2

$\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ को $\frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5} {(v^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 6.2.3

घातांक जोड़कर ${(v^{3} + 1)}^{5}$ को ${(v^{3} + 1)}^{2}$ से गुणा करें.

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चरण 6.2.3.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5 + 2}}$

चरण 6.2.3.2

$5$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{7}}$