कैलकुलस उदाहरण

$\frac{1}{1 + \cos (2 x)}$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

चरण 2.2

$2$ को $1 + \cos (u_{1})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

चरण 4

$\cos (x)$ को $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ में बदलने के लिए दोहरा कोण सर्वसमिका का प्रयोग करें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 5

पाइथागोरस की सर्वसमिका का उपयोग $1$ को $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ में बदलने के लिए करें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ में से ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ घटाएं.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

चरण 6.2

${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ और ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

चरण 6.3

$2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 7

तर्क को $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$ से गुणा करें100

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

चरण 8

जोड़ना.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

चरण 9

${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

चरण 10

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (\frac{u}{2})$ को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

चरण 11

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

चरण 12

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

चरण 13

$2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 13.2

$\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ और $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

चरण 14

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 15

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (\frac{u}{2})$ को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 16

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 17

जोड़ना.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

चरण 18

$\cos^{2} (\frac{u}{2})$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

चरण 18.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 19

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 20

$1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

चरण 21

अलग-अलग भिन्न

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

चरण 22

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ को $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ में बदलें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

चरण 23

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

चरण 23.2

$\frac{1}{2}$ और $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

चरण 24

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1})$

चरण 25

मान लीजिए $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ .फिर $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , तो $2 d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.1

मान लें $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.1.1

$\frac{u_{1}}{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

चरण 25.1.2

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $\frac{u_{1}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 25.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 25.1.4

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2}$

चरण 25.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2})$

चरण 26

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 26.1

$\frac{1}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2})$

चरण 26.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2})$

चरण 26.3

$2$ को $\sec^{2} (u_{2})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

चरण 27

चूँकि $2$ बटे $u_{2}$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}))$

चरण 28

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

चरण 28.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 28.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

चरण 28.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

चरण 28.3

$\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

चरण 29

चूंकि $\tan (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u_{2})$ है, $\sec^{2} (u_{2})$ का समाकलन $\tan (u_{2})$ है.

$\frac{1}{2} (\tan (u_{2}) + C)$

चरण 30

सरल करें.

$\frac{1}{2} \tan (u_{2}) + C$

चरण 31

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 31.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\frac{u_{1}}{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C$

चरण 31.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

चरण 32

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 32.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{2 x}{2}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 32.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

चरण 32.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \tan (\frac{x}{1}) + C$

चरण 32.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} \tan (x) + C$