कैलकुलस उदाहरण

$5 \sqrt{x^{2} + 6}$

चरण 1

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$5 \int \sqrt{x^{2} + 6} d x$

चरण 2

मान लीजिए $x = \sqrt{6} \tan (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \sec^{2} (t) \sqrt{6} d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\sec^{2} (t) \sqrt{6}$ सकारात्मक है.

$5 \int \sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

उत्पाद नियम को $\sqrt{6} \tan (t)$ पर लागू करें.

$5 \int \sqrt{{\sqrt{6}}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.1.2

${\sqrt{6}}^{2}$ को $6$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.2.1

$\sqrt{6}$ को $6^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$5 \int \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.1.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.1.2.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.1.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.1.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$5 \int \sqrt{6^{1} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.1.2.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.1.3

${\sqrt{6}}^{2}$ को $6$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.3.1

$\sqrt{6}$ को $6^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.1.3.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.1.3.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.1.3.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.1.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{1}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.1.3.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.2

$6 \tan^{2} (t) + 6$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$6 \tan^{2} (t)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.2.2

$6$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.2.3

$6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t) + 1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.3

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$5 \int \sqrt{6 \sec^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.4

$6$ और $\sec^{2} (t)$ को पुन: क्रमित करें.

$5 \int \sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$5 \int \sec (t) \sqrt{6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \int \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

चरण 3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$5 \int {\sec (t)}^{2 + 1} \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

चरण 3.2.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$5 \int \sec^{3} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

चरण 3.2.4

$\sqrt{6}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) d t$

चरण 3.2.5

$\sqrt{6}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) d t$

चरण 3.2.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{1 + 1} d t$

चरण 3.2.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{2} d t$

चरण 3.2.8

${\sqrt{6}}^{2}$ को $6$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.1

$\sqrt{6}$ को $6^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$5 \int \sec^{3} (t) {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

चरण 3.2.8.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

चरण 3.2.8.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

चरण 3.2.8.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

चरण 3.2.8.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{1} d t$

चरण 3.2.8.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6 d t$

चरण 3.2.9

$6$ को $\sec^{3} (t)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$5 \int 6 \sec^{3} (t) d t$

चरण 4

चूँकि $6$ बटे $t$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$5 (6 \int \sec^{3} (t) d t)$

चरण 5

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$6$ को $5$ से गुणा करें.

$30 \int \sec^{3} (t) d t$

चरण 5.2

$\sec^{3} (t)$ में से $\sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$30 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

चरण 6

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \sec (t)$ और $d v = \sec^{2} (t)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

चरण 7

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

चरण 8

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

चरण 9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

चरण 10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

चरण 10.2

$\tan^{2} (t)$ और $\sec (t)$ को पुन: क्रमित करें.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

चरण 11

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (t)$ को $- 1 + \sec^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

चरण 12

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

एक गुणनफल के रूप में घातांक को फिर से लिखें.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

चरण 12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

चरण 12.3

$\sec (t)$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

चरण 13

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

चरण 14

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

चरण 15

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

चरण 16

$1$ और $1$ जोड़ें.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

चरण 17

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

चरण 18

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

चरण 19

$2$ और $1$ जोड़ें.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

चरण 20

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

चरण 21

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

चरण 22

$t$ के संबंध में $\sec (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ है.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

चरण 23

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$30 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

चरण 23.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$30 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

चरण 24

$\int \sec^{3} (t) d t$ को हल करने पर, हम पाते हैं कि $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

चरण 25

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ को $1$ से गुणा करें.

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

चरण 26

सरल करें.

$30 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

चरण 27

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 27.1

$30$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{30}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

चरण 27.2

$30$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 27.2.1

$30$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 15}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

चरण 27.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 27.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

चरण 27.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

चरण 27.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{15}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

चरण 27.2.2.4

$15$ को $1$ से विभाजित करें.

$15 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

चरण 28

$t$ की सभी घटनाओं को $\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})$ से बदलें.

$15 (\sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) |)) + C$

चरण 29

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$15 (\sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) |)) + C$