कैलकुलस उदाहरण

${(\frac{e^{y} - e^{- y}}{2})}^{2}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = y^{2}$ और $g (y) = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u_{1} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ से बदलें.

$2 \frac{e^{y} - e^{- y}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$2$ और $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

चरण 2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

चरण 2.2.2

$e^{y} - e^{- y}$ को $1$ से विभाजित करें.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

चरण 2.3

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}]$ है.

$(e^{y} - e^{- y}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}])$

चरण 2.4

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $e^{y} - e^{- y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ है.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

चरण 3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ $a^{y} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

चरण 4

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- e^{- y}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ है.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - \frac{d}{d y} [e^{- y}])$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = e^{y}$ और $g (y) = - y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- y$ के रूप में सेट करें.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- y]))$

चरण 5.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- y]))$

चरण 5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- y$ से बदलें.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]))$

चरण 6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y]$ है.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

चरण 6.2

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + 1 e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

चरण 6.2.2

$e^{- y}$ को $1$ से गुणा करें.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

चरण 6.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \cdot 1)$

चरण 6.4

$e^{- y}$ को $1$ से गुणा करें.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(e^{y} \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

चरण 7.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{y}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$(\frac{e^{y}}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

चरण 7.2.2

$\frac{1}{2}$ और $e^{- y}$ को मिलाएं.

$(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

चरण 7.3

$(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

चरण 7.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

चरण 7.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

चरण 7.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

चरण 7.5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.1

$e^{y} \frac{e^{y}}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.1.1

$e^{y}$ और $\frac{e^{y}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{y} e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

चरण 7.5.1.1.2

घातांक जोड़कर $e^{y}$ को $e^{y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.1.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{e^{y + y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

चरण 7.5.1.1.2.2

$y$ और $y$ जोड़ें.

$\frac{e^{2 y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

चरण 7.5.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{e^{2 y}}{2} - e^{y} \frac{e^{- y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

चरण 7.5.1.3

$- e^{y} \frac{e^{- y}}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.3.1

$\frac{e^{- y}}{2}$ और $e^{y}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

चरण 7.5.1.3.2

घातांक जोड़कर $e^{- y}$ को $e^{y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.3.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

चरण 7.5.1.3.2.2

$- y$ और $y$ जोड़ें.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

चरण 7.5.1.3.3

$e^{0}$ को सरल करें.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

चरण 7.5.1.4

$e^{- y} \frac{e^{y}}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.4.1

$e^{- y}$ और $\frac{e^{y}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

चरण 7.5.1.4.2

घातांक जोड़कर $e^{- y}$ को $e^{y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.4.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

चरण 7.5.1.4.2.2

$- y$ और $y$ जोड़ें.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

चरण 7.5.1.4.3

$e^{0}$ को सरल करें.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

चरण 7.5.1.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$

चरण 7.5.1.6

$- e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.6.1

$\frac{e^{- y}}{2}$ और $e^{- y}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y} e^{- y}}{2}$

चरण 7.5.1.6.2

घातांक जोड़कर $e^{- y}$ को $e^{- y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.6.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y - y}}{2}$

चरण 7.5.1.6.2.2

$- y$ में से $y$ घटाएं.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

चरण 7.5.2

$- \frac{1}{2}$ और $\frac{1}{2}$ जोड़ें.

$\frac{e^{2 y}}{2} + 0 - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

चरण 7.5.3

$\frac{e^{2 y}}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$