कैलकुलस उदाहरण

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(y + x)}^{2}}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ है, जहाँ $f (y) = y e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ और $g (y) = {(y + x)}^{2}$ है.

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{({(y + x)}^{2})}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

घातांक को ${({(y + x)}^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{2 \cdot 2}}$

चरण 2.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$ है.

$\frac{{(y + x)}^{2} (\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

चरण 2.3

चूंकि $e^{x}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y e^{x}$ का व्युत्पन्न $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

चरण 2.5

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

चरण 2.6

चूंकि $y$ के संबंध में $x e^{x}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x e^{x}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + 0 + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

चरण 2.7

$e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

चरण 2.8

चूंकि $y$ के संबंध में $- e^{x}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- e^{x}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + 0) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

चरण 2.9

$e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = y^{2}$ और $g (y) = y + x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y + x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (2 u \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y + x$ से बदलें.

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (2 (y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

चरण 4

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

चरण 4.2

${(y + x)}^{2} e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])$ में से $y + x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

${(y + x)}^{2} e^{x}$ में से $y + x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x}) - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

चरण 4.2.2

$- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])$ में से $y + x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x}) + (y + x) (- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{{(y + x)}^{4}}$

चरण 4.2.3

$(y + x) ((y + x) e^{x}) + (y + x) (- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))$ में से $y + x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{{(y + x)}^{4}}$

चरण 5

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

${(y + x)}^{4}$ में से $y + x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{(y + x) {(y + x)}^{3}}$

चरण 5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{(y + x) {(y + x)}^{3}}$

चरण 5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{3}}$

चरण 6

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]$ है.

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])}{{(y + x)}^{3}}$

चरण 7

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (1 + \frac{d}{d y} [x])}{{(y + x)}^{3}}$

चरण 8

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (1 + 0)}{{(y + x)}^{3}}$

चरण 9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \cdot 1}{{(y + x)}^{3}}$

चरण 9.2

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

चरण 10.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 (y e^{x}) - 2 (x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

चरण 10.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 y e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

चरण 10.3.2

$y e^{x}$ में से $2 y e^{x}$ घटाएं.

$\frac{- y e^{x} + x e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

चरण 10.3.3

$x e^{x}$ में से $2 x e^{x}$ घटाएं.

$\frac{- y e^{x} - x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

चरण 10.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- e^{x} y - e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

चरण 10.5

$- e^{x} y - e^{x} x + 2 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

$- e^{x} y$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- y) - e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

चरण 10.5.2

$- e^{x} x$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- y) + e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

चरण 10.5.3

$2 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- y) + e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + y)}^{3}}$

चरण 10.5.4

$e^{x} (- y) + e^{x} (- x)$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- y - x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + y)}^{3}}$

चरण 10.5.5

$e^{x} (- y - x) + e^{x} \cdot 2$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- y - x + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

चरण 10.6

$- y$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- (y) - x + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

चरण 10.7

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- (y) - (x) + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

चरण 10.8

$- (y) - (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- (y + x) + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

चरण 10.9

$2$ को $- 1 (- 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e^{x} (- (y + x) - 1 (- 2))}{{(x + y)}^{3}}$

चरण 10.10

$- (y + x) - 1 (- 2)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- (y + x - 2))}{{(x + y)}^{3}}$

चरण 10.11

$- (y + x - 2)$ को $- 1 (y + x - 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e^{x} (- 1 (y + x - 2))}{{(x + y)}^{3}}$

चरण 10.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{e^{x} (y + x - 2)}{{(x + y)}^{3}}$