कैलकुलस उदाहरण

$y = x + \sqrt{1 + x^{2}}$

चरण 1

अवकलन करें.

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चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + \sqrt{1 + x^{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 2.1

$\sqrt{1 + x^{2}}$ को ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 1 + x^{2}$ है.

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चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 + x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2}$ से बदलें.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x)$

चरण 2.6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x)$

चरण 2.7

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x)$

चरण 2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x)$

चरण 2.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 2.9.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x)$

चरण 2.9.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x)$

चरण 2.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x)$

चरण 2.11

$0$ और $2 x$ जोड़ें.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

चरण 2.12

$\frac{1}{2}$ और ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$1 + \frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

चरण 2.13

$2$ और $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$1 + \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x$

चरण 2.14

$\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$1 + \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

चरण 2.15

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.16

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.17

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 1$