कैलकुलस उदाहरण

$y = \sin (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \sin (6 x)$ और $g (x) = \ln (\sin^{2} (6 x))$ है.

$\sin (6 x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin^{2} (6 x))] + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \sin^{2} (6 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sin^{2} (6 x)$ के रूप में सेट करें.

$\sin (6 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\sin (6 x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sin^{2} (6 x)$ से बदलें.

$\sin (6 x) (\frac{1}{\sin^{2} (6 x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 3

$\frac{1}{\sin^{2} (6 x)}$ को $\csc^{2} (6 x)$ में बदलें.

$\sin (6 x) (\csc^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (6 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\sin (6 x)$ के रूप में सेट करें.

$\sin (6 x) \csc^{2} (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\sin (6 x) \csc^{2} (6 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (6 x)$ से बदलें.

$\sin (6 x) \csc^{2} (6 x) (2 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 5

$\sin (6 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\csc^{2} (6 x) (2 (\sin^{1} (6 x) \sin (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 6

$\sin (6 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\csc^{2} (6 x) (2 (\sin^{1} (6 x) \sin^{1} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\csc^{2} (6 x) (2 {\sin (6 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\csc^{2} (6 x) (2 \sin^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 8.2

$2$ को $\csc^{2} (6 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cdot \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 9

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 6 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $6 x$ के रूप में सेट करें.

$2 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 9.2

$u_{3}$ के संबंध में $\sin (u_{3})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{3})$ है.

$2 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 9.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $6 x$ से बदलें.

$2 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 10

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 10.2

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x] + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 10.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) \cdot 1 + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 10.4

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

चरण 11

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{4}$ को $6 x$ के रूप में सेट करें.

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [6 x])$

चरण 11.2

$u_{4}$ के संबंध में $\sin (u_{4})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{4})$ है.

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [6 x])$

चरण 11.3

$u_{4}$ की सभी घटनाओं को $6 x$ से बदलें.

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

चरण 12

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 12.2

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x) (6 \cdot 1)$

चरण 12.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x) \cdot 6$

चरण 12.3.2

$6$ को $\ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cdot (\ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x))$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

चरण 13.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\csc (6 x)$ को फिर से लिखें.

$12 {(\frac{1}{\sin (6 x)})}^{2} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

चरण 13.2.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\sin (6 x)}$ पर लागू करें.

$12 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (6 x)} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

चरण 13.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$12 \frac{1}{\sin^{2} (6 x)} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

चरण 13.2.4

$12$ और $\frac{1}{\sin^{2} (6 x)}$ को मिलाएं.

$\frac{12}{\sin^{2} (6 x)} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

चरण 13.2.5

$\sin^{2} (6 x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{12}{\sin^{2} (6 x)} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

चरण 13.2.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$12 \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$