कैलकुलस उदाहरण

$π e^{\sin (x + y)} - \frac{π}{4}$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $π e^{\sin (x + y)} - \frac{π}{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [π e^{\sin (x + y)}] + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$ है.

$\frac{d}{d y} [π e^{\sin (x + y)}] + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

चरण 2

$\frac{d}{d y} [π e^{\sin (x + y)}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 2.1

चूंकि $π$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $π e^{\sin (x + y)}$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d y} [e^{\sin (x + y)}]$ है.

$π \frac{d}{d y} [e^{\sin (x + y)}] + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = e^{y}$ और $g (y) = \sin (x + y)$ है.

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चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sin (x + y)$ के रूप में सेट करें.

$π (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [\sin (x + y)]) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

चरण 2.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$π (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [\sin (x + y)]) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

चरण 2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x + y)$ से बदलें.

$π (e^{\sin (x + y)} \frac{d}{d y} [\sin (x + y)]) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

चरण 2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = \sin (y)$ और $g (y) = x + y$ है.

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चरण 2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x + y$ के रूप में सेट करें.

$π (e^{\sin (x + y)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d y} [x + y])) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

चरण 2.3.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{2})$ है.

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d y} [x + y])) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

चरण 2.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x + y$ से बदलें.

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) \frac{d}{d y} [x + y])) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

चरण 2.4

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ है.

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]))) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

चरण 2.5

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [y]))) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) (0 + 1))) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

चरण 2.7

$0$ और $1$ जोड़ें.

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

चरण 2.8

$\cos (x + y)$ को $1$ से गुणा करें.

$π e^{\sin (x + y)} \cos (x + y) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

चरण 3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

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चरण 3.1

चूंकि $y$ के संबंध में $- \frac{π}{4}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- \frac{π}{4}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$π e^{\sin (x + y)} \cos (x + y) + 0$

चरण 3.2

$π e^{\sin (x + y)} \cos (x + y)$ और $0$ जोड़ें.

$π e^{\sin (x + y)} \cos (x + y)$