कैलकुलस उदाहरण

$\arctan (\frac{x + y}{1 - x y})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = \arctan (y)$ और $g (y) = \frac{x + y}{1 - x y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x + y}{1 - x y}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\arctan (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + u^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x + y}{1 - x y}$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ है, जहाँ $f (y) = x + y$ और $g (y) = 1 - x y$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

चरण 3.2

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

चरण 3.3

$0$ और $\frac{d}{d y} [y]$ जोड़ें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \cdot 1 - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

चरण 3.5

$1 - x y$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

चरण 3.6

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $1 - x y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y]$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

चरण 3.7

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

चरण 3.8

$0$ और $\frac{d}{d y} [- x y]$ जोड़ें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [- x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

चरण 3.9

चूंकि $- x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- x y$ का व्युत्पन्न $- x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (- x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

चरण 3.10

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + 1 (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

चरण 3.10.2

$x + y$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

चरण 3.11

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) x \cdot 1}{{(1 - x y)}^{2}}$

चरण 3.12

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.1

$x + y$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + x \cdot (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$

चरण 3.12.2

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}}$ को $\frac{1 - x y + x (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

उत्पाद नियम को $\frac{x + y}{1 - x y}$ पर लागू करें.

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 - x y + x \cdot x + x y}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

चरण 4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$1 - x y + x \cdot x + x y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

$- x y$ और $x y$ जोड़ें.

$\frac{1 + x \cdot x + 0}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

चरण 4.3.1.2

$1 + x \cdot x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1 + x \cdot x}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

चरण 4.3.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{1 + x^{2}}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

चरण 4.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1 + x^{2}}{(\frac{{(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

चरण 4.4.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} {(1 - x y)}^{2}}$

चरण 4.4.3

$\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}$ और ${(1 - x y)}^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

चरण 4.4.4

${(1 - x y)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

चरण 4.4.4.2

${(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

चरण 4.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{x^{2} + 1}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

चरण 4.6

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

${(1 - x y)}^{2}$ को $(1 - x y) (1 - x y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} + 1}{(1 - x y) (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

चरण 4.6.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 - x y) (1 - x y)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 (1 - x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

चरण 4.6.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

चरण 4.6.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

चरण 4.6.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.3.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

चरण 4.6.3.1.2

$- x y$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

चरण 4.6.3.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

चरण 4.6.3.1.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.3.1.4.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - (x \cdot x) y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

चरण 4.6.3.1.4.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

चरण 4.6.3.1.5

घातांक जोड़कर $y$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.3.1.5.1

$y$ ले जाएं.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} (y \cdot y) \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

चरण 4.6.3.1.5.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y^{2} \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

चरण 4.6.3.1.6

$- x^{2} y^{2} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.3.1.6.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + 1 x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

चरण 4.6.3.1.6.2

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

चरण 4.6.3.2

$- x y$ में से $x y$ घटाएं.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

चरण 4.6.4

${(x + y)}^{2}$ को $(x + y) (x + y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + (x + y) (x + y)}$

चरण 4.6.5

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + y) (x + y)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x (x + y) + y (x + y)}$

चरण 4.6.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y (x + y)}$

चरण 4.6.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y}$

चरण 4.6.6

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.6.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y \cdot y}$

चरण 4.6.6.1.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y^{2}}$

चरण 4.6.6.2

$x y$ और $y x$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.6.2.1

$y$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + x y + y^{2}}$

चरण 4.6.6.2.2

$x y$ और $x y$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

चरण 4.6.7

$- 2 x y$ और $2 x y$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} + 1}{1 + x^{2} y^{2} + x^{2} + 0 + y^{2}}$

चरण 4.6.8

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}}$

चरण 4.6.9

$x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.9.1

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.9.1.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{x^{2} + 1}{(x^{2} y^{2} + x^{2}) + 1 + y^{2}}$

चरण 4.6.9.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)}$

चरण 4.6.9.2

महत्तम समापवर्तक, $y^{2} + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

चरण 4.7

$x^{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

चरण 4.7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2} + 1}$