कैलकुलस उदाहरण

$\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $z$ के संबंध में $\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ है.

$\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

चरण 2

$\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 2.1

$\frac{1}{z - 1}$ को ${(z - 1)}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d z} [{(z - 1)}^{- 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ $f' (g (z)) g' (z)$ है, जहाँ $f (z) = z^{- 1}$ और $g (z) = z - 1$ है.

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चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $z - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- u^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $z - 1$ से बदलें.

$- {(z - 1)}^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $z$ के संबंध में $z - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]$ है.

$- {(z - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ $n z^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

चरण 2.5

चूंकि $z$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $z$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

चरण 2.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- {(z - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

चरण 2.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- {(z - 1)}^{- 2} + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

चरण 3

$\frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ है, जहाँ $f (z) = - 1$ और $g (z) = \frac{1}{z}$ है.

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

चरण 3.2

$\frac{1}{z}$ को $z^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [z^{- 1}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ $n z^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

चरण 3.4

चूंकि $z$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $z$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

चरण 3.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- {(z - 1)}^{- 2} + 1 z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

चरण 3.6

$z^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

चरण 3.7

$\frac{1}{z}$ को $0$ से गुणा करें.

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + 0$

चरण 3.8

$z^{- 2}$ और $0$ जोड़ें.

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2}$

चरण 4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + z^{- 2}$

चरण 5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$

चरण 6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{z^{2}} - \frac{1}{{(z - 1)}^{2}}$