कैलकुलस उदाहरण

$y = 2 x \sqrt{x^{2} - 2 x + 2}$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{x^{2} - 2 x + 2}$ को ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [2 x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ है.

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 2 x + 2$ के रूप में सेट करें.

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$2 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 2 x + 2$ से बदलें.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$2 (x (\frac{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$2 (x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2] + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 2 x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 11

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 12

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 13

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 14

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 + 0) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 15

$2 x - 2$ और $0$ जोड़ें.

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 16

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

चरण 17

${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2)) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 18.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{x \cdot 2}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 18.2.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 18.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 18.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 18.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$(2 x - 2) \frac{x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 18.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.4.1

$2 x - 2$ को $\frac{x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{(2 x - 2) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 18.4.2

$2 x - 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.4.2.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(2 (x) - 2) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 18.4.2.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 18.4.2.3

$2 (x) + 2 (- 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x - 1) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 18.5

$2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x - 1) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 (x - 1) x + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.7.1

$2 (x - 1) x + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.7.1.1

$2 (x - 1) x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 ((x - 1) x) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.7.1.2

$2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 ((x - 1) x) + 2 ({(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.7.1.3

$2 ((x - 1) x) + 2 ({(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 ((x - 1) x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (x \cdot x - 1 x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.7.3

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x^{2} - 1 x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.7.4

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.7.5

घातांक जोड़कर ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.7.5.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.7.5.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.7.5.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{2}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.7.5.4

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{1})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.7.6

${(x^{2} - 2 x + 2)}^{1}$ को सरल करें.

$\frac{2 (x^{2} - x + x^{2} - 2 x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.7.7

$x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{2 (2 x^{2} - x - 2 x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.7.8

$- x$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{2 (2 x^{2} - 3 x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$