कैलकुलस उदाहरण

$y = 1 - \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x)$

चरण 1

अवकलन करें.

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चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

चरण 1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

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चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

चरण 2.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

चरण 2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

चरण 2.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

चरण 2.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

चरण 2.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

चरण 2.7

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 + 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \cos^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ है.

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 3.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

चरण 3.4

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (- 2 \cos (x) \sin (x))$

चरण 3.5

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$0 + 2 \sin (2 x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

$0$ और $2 \sin (2 x)$ जोड़ें.

$2 \sin (2 x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

चरण 4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 4 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (2 x)$