कैलकुलस उदाहरण

$y = 2 \csc^{3} (\sqrt{x})$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [2 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

चरण 1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \csc (x^{\frac{1}{2}})$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\csc (x^{\frac{1}{2}})$ के रूप में सेट करें.

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$2 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\csc (x^{\frac{1}{2}})$ से बदलें.

$2 (3 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

चरण 3

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 (\csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \csc (x)$ और $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ है.

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चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\csc (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ है.

$6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 5

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$- 6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 6

$\csc (x^{\frac{1}{2}})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 6 (\csc^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})) (\cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 6 {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{1 + 2} (\cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 8

$1$ और $2$ जोड़ें.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) (\cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 10

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 11

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 12

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 13

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 13.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 13.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 14

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

चरण 15

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 16

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ और $- 6$ को मिलाएं.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6}{2} \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})$

चरण 17

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6}{2}$ और $\csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ को मिलाएं.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \cot (x^{\frac{1}{2}})$

चरण 18

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ और $\cot (x^{\frac{1}{2}})$ को मिलाएं.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

चरण 19

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 19.1

$- 6$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- 6 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

चरण 19.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 21

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

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चरण 21.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

चरण 21.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 21.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$