कैलकुलस उदाहरण

$y = \arccos (\frac{2 x}{1 + x^{2}})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arccos (x)$ और $g (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 + x^{2}}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\arccos (u)$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ है.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 + x^{2}}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ से बदलें.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 + x^{2}}]$

चरण 2

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$ है.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}])$

चरण 2.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

चरण 2.2.2

$- 2$ और $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

चरण 2.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

चरण 3

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = 1 + x^{2}$ है.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 4.2

$1 + x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 4.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 4.5

$0$ और $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ जोड़ें.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 4.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 4.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 9

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 10

$\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ को $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ से गुणा करें.

$- \frac{(1 - x^{2}) \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

चरण 11

$2$ को $1 - x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{2 \cdot (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

उत्पाद नियम को $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ पर लागू करें.

$- \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{{(2 x)}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.2

उत्पाद नियम को $2 x$ पर लागू करें.

$- \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{2 + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.4.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{2 - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.5

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{2 - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.6.1

$2 - 2 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.6.1.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 (1) - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.6.1.2

$- 2 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 (1) + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.6.1.3

$2 (1) + 2 (- x^{2})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.6.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{2 (1^{2} - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.6.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = x$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.7

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.7.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.7.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.7.3

$\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.7.3.1

$4 x^{2}$ को ${(2 x)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - {(2 x)}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.7.3.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1 + x^{2}$ और $b = 2 x$ .

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + 2 x) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.7.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.7.3.3.1

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.7.3.3.1.1

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.7.3.3.1.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1^{2} + 2 x + x^{2}) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.7.3.3.1.3

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

चरण 12.7.3.3.1.4

बहुपद को फिर से लिखें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.7.3.3.1.5

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = 1$ और $b = x$ है.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.7.3.3.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.7.3.3.2.1

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1 - 1 \cdot 2 x + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.7.3.3.2.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1^{2} - 1 \cdot 2 x + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.7.3.3.2.3

$1 \cdot 2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

चरण 12.7.3.3.2.4

बहुपद को फिर से लिखें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.7.3.3.2.5

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = 1$ और $b = x$ है.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.7.4

${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}$ को ${((1 + x) (1 - x))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

चरण 12.7.5

$\frac{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ को ${(\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{{(\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

चरण 12.7.6

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}}$

चरण 12.8

${(1 + x^{2})}^{2}$ और $\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} ((1 + x) (1 - x))}{1 + x^{2}}}$

चरण 12.9

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.9.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} (1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.9.1.1

${(1 + x^{2})}^{2} (1 + x) (1 - x)$ में से $1 + x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{(1 + x^{2}) (((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x))}{1 + x^{2}}}$

चरण 12.9.1.2

$1$ से गुणा करें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{(1 + x^{2}) (((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x))}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

चरण 12.9.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{(1 + x^{2}) (((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x))}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

चरण 12.9.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x)}{1}}$

चरण 12.9.2

$((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x)}$

चरण 12.10

$1 + x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.10.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}$

चरण 12.10.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{2 (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 - x)}$

चरण 12.11

$1 - x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.11.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{2 (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 - x)}$

चरण 12.11.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{2}{1 + x^{2}}$