कैलकुलस उदाहरण

$y = \cos (\frac{x}{x - 1})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \frac{x}{x - 1}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{x - 1}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{x - 1}$ से बदलें.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x - 1$ है.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.2

$x - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.4

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.6

पदों को सरल करें.

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चरण 3.6.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.6.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.6.3

$x$ में से $x$ घटाएं.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.6.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.6.4.1

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.6.4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) (- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}})$

चरण 3.6.4.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.6.4.4

$\sin (\frac{x}{x - 1})$ को $1$ से गुणा करें.

$\sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.6.5

$\sin (\frac{x}{x - 1})$ और $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (\frac{x}{x - 1})}{{(x - 1)}^{2}}$