कैलकुलस उदाहरण

$y = \cos (\frac{x - 1}{x + 1})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x - 1}{x + 1}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x - 1}{x + 1}$ से बदलें.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x - 1$ और $g (x) = x + 1$ है.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.2

$x + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.6

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 3.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.8.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3.8.3

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ और $\sin (\frac{x - 1}{x + 1})$ को मिलाएं.

$- \frac{(x + 1 - (x - 1)) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{(x + 1 - x - - 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 4.2.1

$x + 1 - x - - 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

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चरण 4.2.1.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$- \frac{(0 + 1 - - 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4.2.1.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{(1 - - 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4.2.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{(1 + 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 4.2.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{2 \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$