कैलकुलस उदाहरण

$y = \arctan (\frac{e^{2 x}}{3})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arctan (x)$ और $g (x) = \frac{e^{2 x}}{3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\frac{e^{2 x}}{3}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\arctan (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{e^{2 x}}{3}$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

चरण 2

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{e^{2 x}}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ है.

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

चरण 2.2

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{2 x}$ और $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 4.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.3

$2$ और $\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ को मिलाएं.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \cdot 1$

चरण 4.5

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

उत्पाद नियम को $\frac{e^{2 x}}{3}$ पर लागू करें.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}})}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

चरण 5.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

चरण 5.3.2

घातांक को ${(e^{2 x})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{2 x \cdot 2}}{3^{2}}}$

चरण 5.3.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{3^{2}}}$

चरण 5.3.3

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{9}}$

चरण 5.3.4

$3$ और $\frac{e^{4 x}}{9}$ को मिलाएं.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{9}}$

चरण 5.3.5

$3$ और $9$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.1

$3 e^{4 x}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 (e^{4 x})}{9}}$

चरण 5.3.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.2.1

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

चरण 5.3.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

चरण 5.3.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{e^{4 x}}{3}}$

चरण 5.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

चरण 5.4.2

$3$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

चरण 5.4.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3 + e^{4 x}}{3}}$

चरण 5.4.4

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{9 + e^{4 x}}{3}}$

चरण 5.5

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$

चरण 5.6

$2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$\frac{3}{9 + e^{4 x}}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{3 \cdot 2}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

चरण 5.6.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{6}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

चरण 5.6.3

$\frac{6}{9 + e^{4 x}}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$\frac{6 e^{2 x}}{9 + e^{4 x}}$