कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln (\arctan (6 x + 3))$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \arctan (6 x + 3)$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\arctan (6 x + 3)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\arctan (6 x + 3)$ से बदलें.

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arctan (x)$ और $g (x) = 6 x + 3$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $6 x + 3$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

चरण 2.2

$u_{2}$ के संबंध में $\arctan (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ है.

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

चरण 2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $6 x + 3$ से बदलें.

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{1}{1 + {(6 x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

$\frac{1}{1 + {(6 x + 3)}^{2}}$ को $\frac{1}{\arctan (6 x + 3)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} \frac{d}{d x} [6 x + 3]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3])$

चरण 3.3

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

चरण 3.5

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 + \frac{d}{d x} [3])$

चरण 3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 + 0)$

चरण 3.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 3.7.1

$6$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} \cdot 6$

चरण 3.7.2

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)}$ और $6$ को मिलाएं.

$\frac{6}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)}$

चरण 3.7.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{6}{\arctan (6 x + 3) (1 + {(6 x + 3)}^{2})}$