कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln (e^{7 x} + 2)$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = e^{7 x} + 2$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $e^{7 x} + 2$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{7 x} + 2]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{7 x} + 2]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $e^{7 x} + 2$ से बदलें.

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} \frac{d}{d x} [e^{7 x} + 2]$

चरण 2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{7 x} + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (\frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 7 x$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $7 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $7 x$ से बदलें.

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 x$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (e^{7 x} (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 4.3.1

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (e^{7 x} \cdot 7 + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 4.3.2

$7$ को $e^{7 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (7 \cdot e^{7 x} + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (7 e^{7 x} + 0)$

चरण 4.5

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 4.5.1

$7 e^{7 x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{e^{7 x} + 2} (7 e^{7 x})$

चरण 4.5.2

$7$ और $\frac{1}{e^{7 x} + 2}$ को मिलाएं.

$\frac{7}{e^{7 x} + 2} e^{7 x}$

चरण 4.5.3

$\frac{7}{e^{7 x} + 2}$ और $e^{7 x}$ को मिलाएं.

$\frac{7 e^{7 x}}{e^{7 x} + 2}$