कैलकुलस उदाहरण

y = ln (\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}})

$y = \ln (\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$

$f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ

$f (x) = \ln (x)$ और

$g (x) = \frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए,

$u$ को

$\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में

$\ln (u)$ का व्युत्पन्न

$\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को

$\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ से बदलें.

$\frac{1}{\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

चरण 2

$\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$1 \frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

चरण 3

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}}$ को

$1$ से गुणा करें.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{5 + e^{x}}{5 - e^{x}}]$

चरण 4

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ

$f (x) = 5 + e^{x}$ और

$g (x) = 5 - e^{x}$ है.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}] - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

योग नियम के अनुसार,

$x$ के संबंध में

$5 + e^{x}$ का व्युत्पन्न

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

चरण 5.2

चूंकि

$x$ के संबंध में

$5$ स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$5$ का व्युत्पन्न

$0$ है.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

चरण 5.3

$0$ और

$\frac{d}{d x} [e^{x}]$ जोड़ें.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

चरण 6

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$

$a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ

$a$ =

$e$ है.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 - e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

चरण 7

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

योग नियम के अनुसार,

$x$ के संबंध में

$5 - e^{x}$ का व्युत्पन्न

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ है.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

चरण 7.2

चूंकि

$x$ के संबंध में

$5$ स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$5$ का व्युत्पन्न

$0$ है.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

चरण 7.3

$0$ और

$\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ जोड़ें.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

चरण 7.4

चूंकि

$- 1$ ,

$x$ के संबंध में स्थिर है,

$x$ के संबंध में

$- e^{x}$ का व्युत्पन्न

$- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} - (5 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

चरण 7.5

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

$- 1$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} + 1 (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

चरण 7.5.2

$5 + e^{x}$ को

$1$ से गुणा करें.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

चरण 8

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$

$a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ

$a$ =

$e$ है.

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}} \cdot \frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{{(5 - e^{x})}^{2}}$

चरण 9

$\frac{5 - e^{x}}{5 + e^{x}}$ को

$\frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{{(5 - e^{x})}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{(5 - e^{x}) ((5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x})}{(5 + e^{x}) {(5 - e^{x})}^{2}}$

चरण 10

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$(5 + e^{x}) {(5 - e^{x})}^{2}$ में से

$5 - e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(5 - e^{x}) ((5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x})}{(5 - e^{x}) ((5 + e^{x}) (5 - e^{x}))}$

चरण 10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(5 - e^{x}) ((5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x})}{(5 - e^{x}) ((5 + e^{x}) (5 - e^{x}))}$

चरण 10.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(5 - e^{x}) e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{5 e^{x} - e^{x} e^{x} + (5 + e^{x}) e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

चरण 11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{5 e^{x} - e^{x} e^{x} + 5 e^{x} + e^{x} e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

चरण 11.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$5 e^{x} - e^{x} e^{x} + 5 e^{x} + e^{x} e^{x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1.1

$- e^{x} e^{x}$ और

$e^{x} e^{x}$ जोड़ें.

$\frac{5 e^{x} + 5 e^{x} + 0}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

चरण 11.3.1.2

$5 e^{x} + 5 e^{x}$ और

$0$ जोड़ें.

$\frac{5 e^{x} + 5 e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$

चरण 11.3.2

$5 e^{x}$ और

$5 e^{x}$ जोड़ें.

$\frac{10 e^{x}}{(5 + e^{x}) (5 - e^{x})}$